Expression inconnue

Sneg
Sneg
dans Arithmétique
Bonsoir,

J'aimerais simplement savoir ce que signifie $3\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Sylvain
    Sylvain
    Je dirais que ce sont les éléments de Z/15Z divisibles par 3.
  • Dom
    Dom
    Dans le langage des groupes, on a bien la notion de quotient d'un groupe par un sous-groupe distingué.
    $15 \mathbb Z$ est bien un sous groupe de $3 \mathbb Z$ (distingué « puisqu'on est commutatif », ici).

    Pour les anneaux...
  • pourexemple
    pourexemple
    Salut,

    $\mathbb Z/5\mathbb Z$

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    Écrit comme ça, c'est le quotient de l'anneau $3\mathbb Z$ par l'idéal $15 \mathbb Z$ (ou bien selon le parenthésage, l'idéal engendré par la classe de $3$ dans $\mathbb Z/15 \mathbb Z$). On montre sans mal qu'il est isomorphe à $\mathbb Z/5 \mathbb Z$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    @pourexemple : ces deux groupes sont isomorphes, mais si on est large dans la définition d'anneau (i.e. si
    on accepte les anneaux non unitaires), alors ces deux anneaux sont non isomorphes, donc tu ne peux pas répondre ça.

    @Gil Bill : il s'agit ou bien du groupe $3\mathbb{Z}$ quotienté par $15\mathbb{Z}$, ou bien de l'idéal principal de $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ engendré par $3$ (comprendre "la classe de $3$ modulo $15$"). Si je ne me méprends pas, ces deux ensembles sont égaux, et l'addition coïncide (la multiplication "n'ayant pas de sens" sur un groupe noté additivement)
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Anneau ou pseudo-anneau quotient, telle est la question ! ;-)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Poirot:

    1 n'appartient pas à $3\mathbb{Z}$ .
  • Poirot
    Poirot
    Je prends la définition large d'anneau sans élément unité :-D Je ne vois pas ce qui empêcherait de définir la notion d'idéal et d'anneau quotient pas un idéal dans ce cadre.
  • pourexemple
    pourexemple
    Salut,

    Allez, une colle : $$3\mathbb Z/5\mathbb Z\text{ = ?} $$

    PS : la bonne réponse est la réponse consensuelle... ;-)

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    $(3 \mathbb Z)/(5 \mathbb Z)$ n'a pas de sens, tandis que $3(\mathbb Z/ 5 \mathbb Z) = \mathbb Z/5 \mathbb Z$ car $3$ et $5$ sont premiers entre eux.
  • pourexemple
    pourexemple
    @Poirot : Ok, si ta réponse (pas de sens) fait consensus alors c'est la bonne.
  • Sneg
    Sneg
    Merci à tous pour vos réponses !
  • Dom
    Dom
    En effet, pour des groupes la notation A/B est définie lorsque B est un sous-groupe distingué du groupe A.
  • Poirot
    Poirot
    @Dom : c'est faux. L'ensemble quotient $G/H$ a toujours un sens quand $H$ est un sous-groupe quelconque de $G$. C'est l'ensemble des classes à gauche modulo $H$, c'est-à-dire l'ensemble des $gH$ pour $g$ parcourant $H$, ou encore l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation $x \sim y$ si et seulement si $x^{-1}y \in H$. Par contre cet ensemble n'est muni d'une structure de groupes compatible avec celle de $G$ (c'est-à-dire telle que l'application de projection soit un morphisme de groupes) que si et seulement si $H$ est distingué dans $G$.
  • Dom
    Dom
    Oui, j'entendais un groupe quotient (c'est à dire avec une structure de groupe).
    Mais tu as bien fait de réagir ;-).
  • pourexemple
    pourexemple
    Pour motiver un autre point de vue que celui de Poirot : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1446794
  • Dom
    Dom
    Je ne vois pas de quel point de vue il s'agit, et pourquoi on parle de point de vue.

    On a la notion d'ensemble (sans structure ou avec, comme on veut) quotient par une relation d'équivalence.
    La notion de groupe quotienté par un sous-groupe, comme @Poirot l'a rappelé.
    Et celle que je donnais, par une affirmation bien trop légère, aussitôt rectifiée, encore par @Poirot.

    Il ne s'agit pas de "point de vue" puisque tous les bouquins de L1/L2 disent la même chose, non ?

    Mais peut-être ne parle-t-on pas ici de cette histoire de "quotient" quant à l'expression "point de vue" ?

    J'ai peur aussi de me mettre dans une discussion digne d'un bourbier sans nom...
  • pourexemple
    pourexemple
    Salut,

    Je rappelle, à notre aimable clientèle, que $\sqrt {-1}$ n'avait pas de sens, avant qu'on ne lui en donne un, ce qui fût pour le moins fructueux, non ?

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    Alors quel sens donnes-tu à $(3 \mathbb Z)/(5 \mathbb Z)$ ?
  • pourexemple
    pourexemple
    C'est pas un peu triste de faire les questions et les réponses, non ?
  • Poirot
    Poirot
    C'est toi qui fait le malin à prétendre que tu saurais donner un sens à ceci. Ton absence de réponse me conforte dans l'idée que tu parles pour pas grand-chose.
  • pourexemple
    pourexemple
    C'est un moyen comme un autre pour essayer de me tirer les vers du nez, cela est sans effet avec toi (Poirot).

    De toutes les façons si la question reste sans réponse, j'en ai plein d'autre dans ce cas (cf ma signature).

    Au revoir.
  • pourexemple
    pourexemple
    De plus pour l'instant ta réponse fait consensus, donc ta réponse est la bonne (pour l'instant)
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Comme déjà dit, $(3 \mathbb Z)/(5 \mathbb Z)$ n'a pas de sens alors que $(3 \mathbb Z)/(15 \mathbb Z)$ en a un.
    On ne peut espérer quotienter un machin que par un sous-machin.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Dom
    Dom
    À la limite, on peut dire que ça a du sens tant qu'on en donne un.

    C'est normal alors que l'on dise "ce truc n'a pas de sens" si personne n'en donne un.

    Je savais que la discussion allait faire passer le temps...
  • claude quitté
    claude quitté
    J'ai passé pas mal de temps à essayer de définir $(3\mathbb Z)/(5\mathbb Z)$. Sans y parvenir. Mais les derniers posts de Rescassol et celui de Dom ont provoqué chez moi un véritable déclic (merci à eux).
    Il faut d'abord que l'on soit tous d'accord sur le fait que $(3\mathbb Z)/(3^i \times 5\mathbb Z)$ a du sens pour $i \in \mathbb N^*$. C'est OK ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonne nuit,

    Claude, on peut même dire que $(3\mathbb Z)/(n\mathbb Z)$ a un sens si et seulement si $n$ est divisible par $3$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • claude quitté
    claude quitté
    Salut Rescassol,
    Je t'assure que c'est grâce à toi d'une part car tu as utilisé $15 = 3 \times 5$. C'est le coup de l'exposant $i=1$. Et ensuite, Dom a utilisé l'expression ``A la limite'' (ce sont les 3 premiers mots de son post). A ce moment là, mon sang n'a fait qu'un tour et j'ai pensé à :
    $$
    (3\mathbb Z)/(5\mathbb Z) = \lim_{i \mapsto 0 \atop i \in \mathbb N^*} (3\mathbb Z)/(3^i \times 5\mathbb Z)
    $$
    Mais je ne veux pas m'attribuer la chose. On peut partager cette invention à trois, je pense ?
  • flipflop
    flipflop
    On peut faire la limite quand $i$ tend vers $0$ quand même, et le corps $\mathbb{F}_{\mathbb{UN}}$ entre en jeu :-D
  • pourexemple
    pourexemple
    Salut,

    En fait, pour Claude : $3\Z/5\Z=\Z_3$, les nombres triadiques, c'est bien cela.

    Cordialement.
  • pourexemple
    pourexemple
    Bon aller je raisonne à voie haute, manière de stimuler votre imagination.

    Je vous donne un exemple parmi d'autre :

    $A=\Z[\frac{1}{15}]/\Z[\frac{1}{9}]$
  • pourexemple
    pourexemple
    Alors maintenant que vous savez cela possible, à vous de faire mieux.
  • pourexemple
    pourexemple
    A noter que $p\Z=\{P(p)|P\in \Z[x] \text{ et } P(0)=0\}$ et d'où : $1/p\Z=\Z[1/p]$...

    A vous de prouver que vous aussi vous avez de l'imagination, qui sert à autre chose que faire des blagues... :-D
  • pourexemple
    pourexemple
    @Poirot : Ton absence de réponse me conforte dans l'idée que tu parles pour pas grand-chose... B-)
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