Pair et Impair

Suppose $x$ impair, pose $x=2k+1$, et regarde la conséquence.

Tu travailles dans l'anneau des entiers de Gauss $\mathbf G=\Z[$$i]$$=\Z+\Z i$, qui est euclidien, donc principal, donc factoriel.
Tu peux prouver que si $k \in \Z$ alors $2k+i$ et $2k-i$ sont premiers entre eux dans $\mathbf G$. Même procédé de démonstration que dans $\Z$.
Tu peux aussi trouver $u \in \mathbf G$ et $v \in \mathbf G$ tels que : $u(2k+i)+v(2k-i)=1$, même si ce n'est pas indispensable.
Bon courage.
Fr. Ch.

@Toborockeur :
Pour démontrer que $x+i$ et $x-i$ sont premiers entre eux, tu peux aussi utiliser l'algorithme d'Euclide qui est facile à mettre en place ici. Tu pourras même ensuite trouver $u$ et $v$ (cf le dernier post de Chaurien) en remontant cet algorithme comme d'habitude.

Pour le reste, on peut conclure en montrant que $x+i$ est un cube dans $\Z$, ce qui laisse peu de possibilités pour $x$...

Pour en revenir au problème posé, soit $k \in \Z$, soit $z\in \mathbf G=\Z$, tel que dans $\mathbf G$ l'élément $z$ divise $2k+i$ et $2k-i$.
Alors $z$ divise $(2k+i)-(2k-i)$. Etc.

Il ne m'est pas inconnu que $2$ n'est pas irréductible dans $\mathbf G$, merci. Je n'ai pas dit qu'avec ma suggestion tout est terminé. J'ai seulement voulu inciter Toborockeur à persévérer. J'ai cru comprendre que la règle ici n'est pas de traiter les questions à la place des questionneurs, mais de les aider à progresser par eux-mêmes dans la solution de ces questions.

Eh bien nous sommes d'accord, tout est pour le mieux

De mon côté, je trouve comme seule solution le couple $(x=0,y=1)$.

On a $(k+i)(2k-i)-k(2k+i)=1$ donc $2k+i$ et $2k-i$ sont premiers entre eux et les facteurs premiers (éventuels) de l'un ne sont pas facteurs premiers de l'autre.

Si $k=0$, $2k+i=i$ est un cube.
Sinon, en examinant les décompositions en facteurs premiers de $y^3$ et de $(2k+i)(2k-i)$, on montre sans peine qu'il existe $\alpha$ inversible et $\beta$ dans $\Z$ tels que $2k+i=\alpha\beta^3$.
Mais tout inversible de $\Z$ étant un cube, il existe des entiers $a$ et $b$ tels que $2k+i=(a+ib)^3$.
Un rapide calcul montre que $a=0$ et $b=-1$ ce qui implique que $x=2k=0$ et $y=1$, solution qui convient.

C'est un bon exemple d'utilisation des anneaux de nombres algébriques pour résoudre une équation diophantienne. Ces équations $x^2+k=y^3$, $k \in \mathbb Z $, sont appelées semble-t-il équations de Bachet, ou de Mordell, car ce dernier leur a consacré d'importants travaux. L'équation étudiée ici est un peu décevante car elle n'a que la solution triviale. Les deux plus intéressantes en restant élémentaires sont $x^2+2=y^3$ et $x^2+4=y^3$, toutes deux présentées par Fermat soi-même, et que l'on résout de même.

Anecdote personnelle. Il y a des années, je m'étais intéressé à cette équation $x^2+2=y^3$ juste pour la beauté de la chose. J'étais à l'époque professeur certifié, et je considérais qu'il y avait deux sortes de mathématiques : les mathématiques académiques ennuyeuses et les mathématiques ludiques plaisantes comme ces équations diophantiennes. Et voici que je passe l'agrégation et qu'à l'écrit je tombe sur « exemples d'anneaux », et je case $x^2+2=y^3$. J'ai compris que ces deux mathématiques n'en faisaient qu'une.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Hello Gai requin :-D

Oui j'ai voulu faire mumuse avec les bidules modulaires ! Par contre, ce qui m'embête c'est que l'anneau qui intervient c'est $\Z[ j]$ et non $\Z[ i]$ :-S

Et dans $\Q$ ?

Je ne suis pas très calé sur le maniement de ces courbes. J'ai commencé à chercher ce problème classiquement, mais je n'ai pas abouti.

Donc une étude élémentaire qui se passe de Mordell-Weil et autre théorème de Mazur.
J'aimerais bien voir ça...

Merci !

C'est en effet difficile à résoudre ex nihilo.

Et finalement, l'équation $y^3=x^2-1$ dont la résolution dans $\Z$ utilise les techniques vues dans ce fil, est plus sympathique même si elle n'a pas de solution rationnelle non entière.

Quant à Henri Cohen, je sais qu'il calcule des corps de classes comme si c'était du petit lait !

Est-ce que tu t'y connais en courbes elliptiques ?
Si non, j'ai l'impression que c'est un sujet qui pourrait te passionner...