Pair et Impair
dans Arithmétique
Bonjour,
Soit $x,y\in\Z$ tels que $y^{3}=x^{2}+1$
Montrer que $x$ est pair et que $y$ est impair.
Quelqu'un aurait il des idées? J'ai essayé par l'absurde mais je n'arrive pas à la conclusion.
Soit $x,y\in\Z$ tels que $y^{3}=x^{2}+1$
Montrer que $x$ est pair et que $y$ est impair.
Quelqu'un aurait il des idées? J'ai essayé par l'absurde mais je n'arrive pas à la conclusion.
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Réponses
On peut aussi remarquer en réfléchissant une minute que $y^3-1$ est toujours pair.
Edit. Désolée, ceci est une grosse bêtise envoyée sans y faire attention!
Tu peux prouver que si $k \in \Z$ alors $2k+i$ et $2k-i$ sont premiers entre eux dans $\mathbf G$. Même procédé de démonstration que dans $\Z$.
Tu peux aussi trouver $u \in \mathbf G$ et $v \in \mathbf G$ tels que : $u(2k+i)+v(2k-i)=1$, même si ce n'est pas indispensable.
Bon courage.
Fr. Ch.
Pour démontrer que $x+i$ et $x-i$ sont premiers entre eux, tu peux aussi utiliser l'algorithme d'Euclide qui est facile à mettre en place ici. Tu pourras même ensuite trouver $u$ et $v$ (cf le dernier post de Chaurien) en remontant cet algorithme comme d'habitude.
Pour le reste, on peut conclure en montrant que $x+i$ est un cube dans $\Z$, ce qui laisse peu de possibilités pour $x$...
on y voit que $x$ et $y$ peuvent être pair ou impair.
Alors $z$ divise $(2k+i)-(2k-i)$. Etc.
J'ai juste signalé que l'algorithme d'Euclide était très efficace pour traiter la dernière question de Toborockeur.
Si $k=0$, $2k+i=i$ est un cube.
Sinon, en examinant les décompositions en facteurs premiers de $y^3$ et de $(2k+i)(2k-i)$, on montre sans peine qu'il existe $\alpha$ inversible et $\beta$ dans $\Z$ tels que $2k+i=\alpha\beta^3$.
Mais tout inversible de $\Z$ étant un cube, il existe des entiers $a$ et $b$ tels que $2k+i=(a+ib)^3$.
Un rapide calcul montre que $a=0$ et $b=-1$ ce qui implique que $x=2k=0$ et $y=1$, solution qui convient.
Ce problème a été posé en 2010 à l'ISFA.
http://www.bankexam.fr/etablissement/44-Institut-de-science-financiere-et-d-assurances/1123-1ere-epreuve-de-mathematiques
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Anecdote personnelle. Il y a des années, je m'étais intéressé à cette équation $x^2+2=y^3$ juste pour la beauté de la chose. J'étais à l'époque professeur certifié, et je considérais qu'il y avait deux sortes de mathématiques : les mathématiques académiques ennuyeuses et les mathématiques ludiques plaisantes comme ces équations diophantiennes. Et voici que je passe l'agrégation et qu'à l'écrit je tombe sur « exemples d'anneaux », et je case $x^2+2=y^3$. J'ai compris que ces deux mathématiques n'en faisaient qu'une.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Un peu plus de solutions que dans $\Z$ ! :-)
Oui j'ai voulu faire mumuse avec les bidules modulaires ! Par contre, ce qui m'embête c'est que l'anneau qui intervient c'est $\Z[ j]$ et non $\Z[ i]$ :-S
Bonne journée.
Fr. Ch.
J'aimerais bien voir ça...
Voici. Je ne suis pas sûr d'avoir tout compris. Il me semble que tout amateur de Théorie des Nombres devrait garder sous le coude les ouvrages de Henri Cohen.
Bonne journée.
Fr. Ch.
C'est en effet difficile à résoudre ex nihilo.
Et finalement, l'équation $y^3=x^2-1$ dont la résolution dans $\Z$ utilise les techniques vues dans ce fil, est plus sympathique même si elle n'a pas de solution rationnelle non entière.
Quant à Henri Cohen, je sais qu'il calcule des corps de classes comme si c'était du petit lait !
Si non, j'ai l'impression que c'est un sujet qui pourrait te passionner...