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Démonstration pair / impair = pair

Envoyé par qwerty31 
Démonstration pair / impair = pair
il y a trois années
Bonjour à tous,

J'ai trouvé sur Wikipédia cet article dans lequel il est dit :
$$\frac{pair}{impair}=pair$$
Si ce nombre pair est divisible par ce nombre impair.
(cette division donne un nombre non entier lorsque ces deux nonbres ne sont pas divisibles).
J'ai cherché sur Internet une démonstration de cette propriété, sans succès. J'ai également réfléchi à comment la démontrer avec mes connaissances (Terminale S spé maths) sans réussir non plus.
Je suis allé jusque là :
On suppose un nombre pair $2k$ et un nombre impair $2k'+1$ tel que $2k'+1\mid 2k$.
$$\frac{2k}{2k'+1}=?$$
Et je ne sais pas comment aller plus loin.

Si quelqu'un a une démonstration ou des pistes/idées pour essayer de démontrer cette propriété...?

Merci d'avance !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par qwerty31.
Re: Démonstration pair / impair = impair
il y a trois années
avatar
Si $\frac{p}{q}=a$ alors $p=aq$ et réciproquement si $q$ est non nul.

PS:
Le produit de deux nombres impairs est impair.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Démonstration pair / impair = impair
il y a trois années
Bonjour.

Il suffit de revenir à la définition des fractions : si $\frac a b =c$ où a, b et c sont des entiers, alors a=bc et on sait la parité d'un produit en fonction de ses facteurs.

Cordialement.
Re: Démonstration pair / impair = impair
il y a trois années
Bonjour,

Essaie de traduire ton hypothèse $2k'+1\; |\; 2k $ par une égalité.
Re: Démonstration pair / impair = impair
il y a trois années
Je vois dans le programme de Terminale S, spécialité mathématique, sous la rubrique "Arithmétique", après "Entiers premiers entre eux" et "Théorème de Bézout", la mention "Théorème de Gauss". Que dit ce théorème de Gauss ?
Re: Démonstration pair / impair = impair
il y a trois années
avatar
Si le dividende était impair le produit des facteurs serait impair et non pair, puisque produit de deux impairs.
[ajout : pas assez rapide ! Et pourquoi le titre est-il en contradiction avec la teneur du message ?]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Félix.
Re: Démonstration pair / impair = pair
il y a trois années
Bonjour,

Merci à tous pour vos réponses.

J'ai modifié le titre dans lequel il y avait une erreur, désolé.

Pour le théorème de Gauss, je suis actuellement en Terminale et je n'ai donc pas encore vu le programme en intégralité ; je vais aller voir.

En effet, avec la définition d'une fraction la démonstration devient évidente.
Re: Démonstration pair / impair = pair
il y a trois années
Ce théorème dit : si l'entier $a$ divise le produit d'entiers $bc$ et est premier avec $b$, alors il divise $c$. Conséquence : si $2$ divise $bc$ ($bc$ est pair) et est premier avec $b$ ($b$ est impair), alors $2$ divise $c$ ($c$ est pair). C'est la propriété admise par les autres intervenants.
Re: Démonstration pair / impair = pair
il y a trois années
Bonjour Gabuzomeu.

Pas besoin de lemme de Gauss pour raisonner "par le pair et l'impair" comme le faisaient les grecs plus de 2000 ans avant Gauss. Ce qui fait que je n'ai pas utilisé ce résultat.

Cordialement.
Re: Démonstration pair / impair = pair
il y a trois années
avatar
Faut-il le lemme de Gauss pour savoir que le résultat de la multiplication d'un nombre impair par un nombre impair est impair?

Démonstration:
$(2k+1)(2k'+1)=2\left(k(2k'+1)+k'\right)+1$ est bien un nombre impair.

PS:
Faut-il la démonstration qu'un nombre impair n'est pas un nombre pair?
$2k=2k'+1$ entraine que $2(k-k')=1$ c'est à dire que $2$ divise $1$ ce qui est absurde.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Démonstration pair / impair = pair
il y a trois années
avatar
Vous avez déjà remarqué que la fonction constante égale à 1 est paire, tandis que la fonction constante égale à 0 est impaire ?

Ok, je sors...
Re: Démonstration pair / impair = pair
il y a trois années
D'accord, le lemme de Gauss est marteau-pilon ici. Mais impair x impair = impair demande tout de même une petite démonstration.
PS. Ce n'est pas le même degré d'évidence que pair x entier = pair.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Re: Démonstration pair / impair = pair
il y a trois années
avatar
Bon Gérard et Fil de pull,

laissez moi passer devant Ramon, vous finirez la mission sans moi ensuite.

bonsoir GaBuZoMeu

"pair x entier = pair"
me semble évident, genre $(2\times k)\times n=2\times(k \times n)$ où $k$, $n$ sont des nombres entiers.

Où est le loup ?

S

La poésie n'est pas une solution.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par samok.
Re: Démonstration pair / impair = pair
il y a trois années
Samok, moi aussi, pair x entier = pair me semble évident, pour la raison que tu as écrite.
Peut-être as-tu compris de travers ce que j'ai écrit ? Relis avec attention.
Re: Démonstration pair / impair = pair
il y a trois années
avatar
Bonsoir,

On peut comprendre sans grand effort que notre ami GaBuZoMeu dit que pair x entier = pair est plus évident qu'impair x impair = impair.
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