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Méthode de l'hyperbole

Envoyé par Maythes 
Méthode de l'hyperbole
05 mai 2020, 23:20
Bonsoir,

Je cherche une démonstration de la formule suivante :

$ \forall x \geq 1, \forall y>x, S_{f\ast g} (x) = \sum\limits_{1\leq n \leq y} g(n)S_f (\frac{x}{n} )+ \sum\limits_{1\leq n \leq \frac{x}{y} } f(n) S_g (\frac{x}{n}) - S_f (\frac{x}{y})S_g (y) $

Avec : $ S_h (x) = \sum
\limits_{n \leq x} h(n) $ et ' $ \ast $ ' la convolution de Dirichlet définie par : $ (f\ast g)(n)= \sum\limits_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d}) $

En auriez-vous une à me fournir ? Merci d'avance.
Re: Méthode de l'hyperbole
05 mai 2020, 23:27
Il y a une démonstration dans ce livre, théorème 4.28 page 107.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 05/05/2020 23:29 par noix de totos.
Re: Méthode de l'hyperbole
05 mai 2020, 23:37
Merci pour la référence, mais si vous pouviez me donner la donner la démonstration en elle même cela me conviendrait mieux ( à vrai dire je n'ai pas les moyens de m'acheter un livre pour un unique théorème... )
Re: Méthode de l'hyperbole
06 mai 2020, 09:35
Tu l'as ici.

C'est d'ailleurs le même auteur.

À propos, dans ton premier message, le paramètre, ici $y$, doit être inférieur à $x$ et non supérieur.
Re: Méthode de l'hyperbole
06 mai 2020, 10:17
Bonjour noix de totos,

Quelles sont les différences entre les versions française et anglaise de ces thèmes d'arithmétique ?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 06/05/2020 10:18 par gai requin.
Re: Méthode de l'hyperbole
06 mai 2020, 10:22
La version chez Ellipses est en fait restreinte au niveau Bac + 2. Donc pas (ou pratiquement pas) de série de Dirichlet, de sommes d'exponentielles, d'analyse complexe, etc, on reste essentiellement sur ce que l'on a coutume d'appeler la "théorie élémentaire des nombres", sans utiliser la théorie des fonctions.

Celui de Springer va nettement plus loin.

Ceci dit, pour débuter, mieux vaut l'Ellipses.
Re: Méthode de l'hyperbole
06 mai 2020, 10:35
Recommander un livre d'Ellipses qui pratique l'ellipse pour présenter la méthode de l'hyperbole ne manque pas de sel.
Re: Méthode de l'hyperbole
06 mai 2020, 10:51
Oui, c'est très excentrique...
Re: Méthode de l'hyperbole
06 mai 2020, 11:00
smiling smiley

Merci noix de totos, je viens de voir qu'on fait même un petit tour du côté des corps de classes sur $\Q$ dans la version anglaise !
Re: Méthode de l'hyperbole
06 mai 2020, 11:12
Exact.

Je crois même que l'auteur prépare une seconde édition du Springer fortement remaniée et modifiée à plus de 75%.
Re: Méthode de l'hyperbole
06 mai 2020, 11:16
C'est bon à savoir ! smiling smiley
Re: Méthode de l'hyperbole
06 mai 2020, 11:39
J'espère que l'auteur a décidé d'aller encore plus loin en théorie algébrique des nombres. winking smiley
Re: Méthode de l'hyperbole
07 mai 2020, 09:31
Ça, aucune idée, mais si j'en juge par la présente édition, il s'agit le plus souvent de théorie analytique appliquée à la théorie algébrique.

Il faut bien reconnaître qu'il est très difficile actuellement d'obtenir de nouveaux résultats significatifs en théorie algébrique des nombres, surtout sans le recours à la théorie analytique. On trouve quand même parfois des preprints qui ajoutent quelques lumières sur des sujets qu'on croyait pourtant bien connus depuis longtemps : [arxiv.org]

Mais là, on a pas mal dévié du sujet initial de ce fil...
Re: Méthode de l'hyperbole
07 mai 2020, 10:25
Une bien belle formule discriminantielle.
Merci d'avoir dégoté de quoi occuper une partie de ma journée...
Re: Méthode de l'hyperbole
08 mai 2020, 21:37
Bonsoir noix de totos,

L'article de Jakhar and co sur certains (pas tous, mais presque ?) discriminants de corps de nombres purs repose sur deux théorèmes de Ore appliqués au $p$-polygone de Newton associé à un polynôme de $\Z[X]$ (p.4).
Je n'ai rien trouvé d'élémentaire sur ces théorèmes.
Connaîtrais-tu une référence qui m'a échappé ?
Re: Méthode de l'hyperbole
08 mai 2020, 22:05
avatar
Quitte à parler du principe de l'hyperbole de Dirichlet et d'O. Bordellès. En 2009, il avait publié un article sur le problème des diviseurs de Dirichlet pour ceux que ça peut intéresser.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - LeproblmedesdiviseursdeDirichlet2009.pdf (1.77 MB)
Re: Méthode de l'hyperbole
09 mai 2020, 08:30
Salut Gai-Requin
Mais non je n'ai pas perdu la boule : je sais bien que je ne suis pas Ndt. Je me permets tout de même de répondre à ta question (du moins, essayer).

J'ai sous les yeux l'article de Jesus Montes & Enric Nart ``On a theorem of Ore'', Journal of Algebra, 146 318-334 (1992). Peux tu y jeter un oeil si c'est accessible ? (avec mon navigateur obsolète ..etc...). De manière générale, les espagnols Guardia, Montes, Nart ont beaucoup travaillé sur le calcul de la clôture intégrale en théorie des nombres, cf par exemple [arxiv.org]
Re: Méthode de l'hyperbole
09 mai 2020, 09:42
Merci Claude,

La fin de l'introduction de "On a theorem of Ore" donne l'eau à la bouche !
We think that our result can be a key step to develop a very fast algorithm for obtaining prime ideal decomposition and integral basis. The major virtue of the algorithm will be that only polynomial-factoring routines over finite fields are needed.
Re: Méthode de l'hyperbole
09 mai 2020, 11:27
Claude Quitté a été plus rapide que moi, mais c'est bien cet article que j'aurais également indiqué.

Il m'a servi en particulier à obtenir des décompositions d'idéaux entiers de la forme $p \mathcal{O}_K$ en idéaux premiers dans le cas où $p$ divise l'indice $f$ du corps de nombres $K$.

À Rémi : effectivement, le principe de Dirichlet est quasiment né avec le problème des diviseurs de Dirichlet. Il a été ensuite étendu à tout produit de convolution de Dirichlet.
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