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Somme avec des carrés de nombres impairs

Envoyé par Fibonacci 
Somme avec des carrés de nombres impairs
il y a sept semaines
$$\arctan12=\arctan\frac{2}{1}+\arctan\frac{2}{9}+\arctan\frac{2}{25}+\arctan\frac{2}{49}+\arctan\frac{2}{81}+\arctan\frac{2}{121}.

$$ Bonjour, voici un résultat surprenant concernant la somme des carrés des nombres impairs ...
Si nous avons $\arctan 2n$, nous obtiendrons $n$ termes et les arguments des arctangentes seront des fractions avec $2$ au numérateur et les carrés des $n$ premiers nombres impairs du dénominateur.

a+
Fibonacci



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Somme des carrés des nombres impairs
il y a sept semaines
avatar
Pas mal.
Tu peux donner une indication sur ce qui t'a mis sur la piste de cette identité ?
Par récurrence, ça revient à vérifier que pour $a=2n$ et $b=\frac{2}{(2n+1)^2}$, on a bien $\frac{a+b}{1-ab}=2(n+1)$.
Cependant la vérifier ne permet pas d'en avoir l'idée...

L'identité fait un peu penser à celle-ci (cf le corollaire), bien que différente.
Re: Somme des carrés des nombres impairs
il y a sept semaines
Tout d'abord le titre n'a aucun rapport avec l'égalité proposée puisque la somme des carrés des $n$ premiers nombres impairs vaut $\displaystyle\sum_{k=1}^n(2k-1)^2={2n+1\choose3}=\dfrac{4n^3-n}3$.

Edit : dernier terme corrigé grâce à la remarque de Jean Lismonde.


L'égalité proposée vient d'un exemple connu de somme télescopique avec la fonction $\arctan$.

De $\arctan\dfrac2{x^2}=\arctan(x+1)-\arctan(x-1)$ valable pour tout $x\neq0$ on déduit :
avec $x=2k-1$, $\displaystyle\sum_{k=1}^n\arctan\dfrac2{(2k-1)^2}=\arctan(2n)$
avec $x=2k$, $\displaystyle\sum_{k=1}^n\arctan\dfrac1{2k^2}=\arctan(2n+1)-\dfrac{\pi}4$

Il y a d'autres exemples comme
$\arctan\dfrac1{k^2+k+1}=\arctan(k+1)-\arctan k$
$\arctan\dfrac{2k}{k^4+k^2+2}=\arctan(k^2+k+1)-\arctan (k^2-k+1)$
et plus généralement $\arctan\dfrac{P(k+1)-P(k)}{1+P(k)P(k+1)}=\arctan P(k+1)-\arctan P(k)$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par jandri.
Re: Somme des carrés des nombres impairs
il y a sept semaines
Bonjour, j'ai trouvé une expression pour $\arctan na$ et quand j'ai calculé $\arctan 2n$ j'ai été surpris. J'utilise des constructions géométriques simples pour obtenir des formules que je ne vois pas dans les livres du lycée.
$$
\arctan(na)=\arctan(a)+\arctan\sum_{i=1}^{n}\frac{a}{1+i(i+1)a^2}.

$$Merci beaucoup pour la collaboration.
a+
Fibonacci



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Somme des carrés des nombres impairs
il y a sept semaines
Bonjour, merci pour la réponse très intéressante. Vous avez tout à fait raison, j'aurais dû mentionner que les carrés des nombres impairs apparaissent successivement dans la formule, pas leur somme !!!
Cordialement..
Fibonacci
P.S. J'écris en français, puis le correcteur transforme le singulier en pluriel.
Re: Somme avec des carrés de nombres impairs
il y a six semaines
bonsoir

une petite erreur s'est glissée dans la formule de notre ami Jandri
concernant la somme des n premiers entiers impairs au carré, il s'agit en fait de

$$\frac{4n^3 - n}{3}$$ on peut le vérifier avec n =1, 2, 3

cordialement
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