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Discussion autour de $\sqrt{n}$

Envoyé par Boole et Bill 
Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a deux mois
avatar
Bonsoir tout le monde.
J'ai un énoncé intéressant : quels sont les entiers $n\in \N^*$ tels que $E(\sqrt{n})$ divise $n$ ? (J'ai noté $E(x)$ la partie entière de $x$).
A vrai dire je n'ai pas grandement avancé vers la solution. J'ai cependant joué avec Excel pour regarder ce qui se passe, et pourquoi pas conjecturer deux trois petites choses. Ce que j'ai pu observer d'intéressant, c'est la suite $(E(\sqrt{n}))$. Je conjecture qu'elle est constituée de trois $1$, puis cinq $2$, puis sept $3$, et ainsi de suite : deux $k$ plus une fois $k$.
Au cas où cela nous aide par la suite, je note $e_n = n(n+2)$, qui correspond à la somme des $n$ premiers impairs.
Bonne recherche à vous, contributeurs potentiels.

PS : question en passant : le jour où je perdrai ma calculatrice, comment calculerai-je $\sqrt{171}$?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par JLT.
Re: Discussion autours de $\sqrt{n}$
il y a deux mois
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Quels sont les multiples de $k$ qui sont dans $\big[\big[k^2; (k+1)^2 \big[\big[ = \big[\big[k^2; k^2 + 2k\big]\big]$ ?
Re: Discussion autours de $\sqrt{n}$
il y a deux mois
avatar
Ce sont $k,k+1$ et $k+2$.

Erratum : je voulais dire $k^2, k(k+1)$ et $k(k+2)$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Boole et Bill.
Re: Discussion autours de $\sqrt{n}$
il y a deux mois
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Bonjour,

$n=k^2$ donne $E(\sqrt{n})=k$ divise $n=k^2.$
Re: Discussion autours de $\sqrt{n}$
il y a deux mois
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Je ne comprends pas ce que tu veux dire YvesM. Si tu prends pour $n$ un carré alors la partie entière de sa racine (qui est juste sa racine dans ce cas) le divise. C'est certes vrai mais ce sont plutôt les cas où $n$ n'est pas un carré qui nous intéressent.
Re: Discussion autours de $\sqrt{n}$
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

Tu cherches des solutions, je t’en donne.

Puis il faut explorer d’autres solutions... le message précédent le mien donne la piste vers toutes les solutions.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par YvesM.
Re: Discussion autours de $\sqrt{n}$
il y a deux mois
avatar
Merci marsup pour ta discrète indication :

Soit $n\in \N^*$. L'entier $E(\sqrt{n})$ divise $n$ si et et seulement si $n$ est de la forme $k,k(k+1)$ ou $k(k+2)$. Dans ce cas, $E(\sqrt{n})=k$

Idées de la démonstration : si la condition est vérifiée, on vérifie au cas par cas. Pour la forme $k(k+2)$, il faut s'assurer que $E(\sqrt{n})\neq k+1$. On y arrive bien par l'absurde.
Si $E(\sqrt{n}) = e$ divise $n$, on introduit un $m$ tel que $me = n$. On montre que $m\geq e$, puis par l'absurde que $m-e<3$, d'où le résultat.
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a deux mois
avatar
@Boole et Bill
Pour $\sqrt{171}$
(1) choisir une approximation, ici $x_0=13$
(2) la moyenne de $13$ et $171/13$ est une meilleure approximation : $13.077$
(3) recommencer avec la nouvelle approximation.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par soland.
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a deux mois
avatar
Très juste soland ! Jolie méthode, plus efficace que celles auxquelles j'avais pensé.
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a deux mois
avatar
Réflexe OEIS :
[oeis.org]
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a cinq semaines
bonjour Boole et Bill

pour le calcul précis à la main de $\sqrt{171}$

tu peux envisager un développement limité de $13\sqrt{1+\frac{2}{169}}$ soit

$13[1 + \frac{1}{169} - \frac{1}{2.169^2} + \frac{1}{2.169^3}+...]$ soit encore :

$$\sqrt{171} = 13 + \frac{1}{13} - \frac{1}{2.169.13} + \frac{1}{2.169^2.13} +.......$$

la convergence est rapide : tu as un résultat ici au milliardième soit 13,0766968....

cordialement
rg2
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a douze jours
Bonjour,
Mon professeur de maths de terminale nous avait expliqué à brule-pourpoint comment calculer la racine carré d'un nombre. Sans doute les plus anciens doivent connaitre cette méthode.
Ca se présente un peu comme la division que l'on apprend en primaire. On regroupe les chiffres 2 par 2. A chaque étape, on a un reste r et un résultat c. On cherche alors le chiffre n qui permet d'avoir (20 c+ n) n < r en étant le plus proche. Le résultat devient 10c+n.
C'est difficile d'être clair sans tableau.

Exemple: racine carré de 599.
la racine carré de 5 et 2, et il reste 199.
On cherche donc le nombre n tel que 4n * n soit le plus proche de 199 en restant inférieur. On trouve n=4.
Le résultat provisoire est 24.
4 *44 = 176. Le reste est 23.
On cherche alors m tel que 48m * m soit le plus proche de 2300. On a m=4
Une valeur approchée de la racine carré de 499 est donc 24,4.

RG2
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a douze jours
avatar
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a douze jours
Bonjour.

Jusque vers 1970, cette méthode était au programme de troisième. Ensuite, les calculatrices ont rendu cette méthode obsolète.

Cordialement.
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a douze jours
avatar
L'algorithme était bien expliqué sur le site de Thérèse Eveilleau... qui semble ne plus exister. sad smiley

Il y a une sauvegarde hélas incomplète sur archive.org : [web.archive.org] (peut-être y a-t-il de meilleures dates à choisir). Je joins la première (grosse) image manquante. La légende indique qu'il s'agit d'un manuel de 1910 pour le cours supérieur de certificat d'études (élèves de 11 à 13 ans).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze jours et a été effectuée par brian.


Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a douze jours
avatar
Bonjour.

Le passage "En 48, combien de fois 6 ? Il y est 7 fois." Ne peut se comprendre isolément.
Je trouve qu'il manque au moins une petite explication à ce passage, indépendamment de ce qui est dit dans la suite.

À bientôt.

Cherche livres & objets du domaine mathématique : intégraphes, règles log & engins [électro]méca ou analog



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze jours et a été effectuée par Dreamer.
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a douze jours
avatar
@Dreamer

C'est vrai, j'avais oublié ça. Il y a un raccourci assez osé dans cet extrait. Le site poursuit avec un algorithme tiré d'un manuel plus récent (« Terminale C et T de V. Lespinard et R.Pernet, 1968 ») qui, je crois, est plus précis. Tu peux le voir sur le lien archive.org que j'ai donné [web.archive.org] .
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a douze jours
En fait, en 48, il est 8 fois 6, mais 8 ne convient pas, c'est trop (8x68 dépasse 489), donc on descend d'une unité. Comme dans la classique division posée, on fait "le maximum pour que ça marche".

Cordialement.
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a douze jours
avatar
Merci pour le lien.

L'algorithme est effectivement plus détaillé.
Il y a même (et cela est un peu plus rare) le détail pour l'extraction de racines cubiques.

Ce sont de bons thèmes pour du calcul écrit.

Après, pour les racines quartiques, quintiques, etc... cela devient ardu, même par écrit.

Cherche livres & objets du domaine mathématique : intégraphes, règles log & engins [électro]méca ou analog
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a douze jours
avatar
Ça a déjà l'air bien coton, les racines cubiques (extraites à la main).

Pour l'algorithme par suite récurrente du premier ordre donné par soland, on peut fournir une justification géométrique intuitive.

On cherche la racine carrée d'un réel $a > 0$, donc la longueur « du » côté d'un carré d'aire $a$. On part d'un réel $x_0 > 0$ arbitraire. Un rectangle $R_0$ de côtés $x_0$ et $\frac{a}{x_0}$ a pour aire $a$, mais on veut un carré. Pour s'en rapprocher, on considère un nouveau rectangle $R_1$ dont une des dimensions est la moyenne arithmétique de celles de $R_0$, i.e. : $x_1 = \frac{1}{2}(x_0+\frac{a}{x_0})$. Afin que ce rectangle ait toujours $a$ pour aire, l'autre dimension doit être $\frac{a}{x_1}$. Et on recommence : pour se rapprocher encore plus d'un carré, on prend la moyenne arithmétique de ces deux longueurs ($x_1$ et $\frac{a}{x_1}$), etc.
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a douze jours
avatar
D'ailleurs, on peut facilement adapter cette technique pour trouver un algorithme simple de calcul approché des racines cubiques (la vitesse de convergence est sans doute perfectible) :
import sys

def f(a, x):
    return (2*x + a/x**2)/3

def rac(a, n):
    res = 1
    for i in range(n):
       prev = res
       res = f(a, prev)
       if abs((res - prev)/prev) < 1e-10:
           break

    print("Arrêt après {} itérations".format(i+1))
    return res

x = rac(float(sys.argv[1]), int(sys.argv[2]))
print("{}^3 = {}".format(x, x**3))
Exemples d'utilisation :
$ python3 rac.py 12 1000      
Arrêt après 8 itérations
2.2894284851066637^3 = 12.0
$ python3 rac.py 123456789012.3456789012 1000
Arrêt après 45 itérations
4979.338592347723^3 = 123456789012.34567
Re: Discussion autour de $\sqrt{n}$
il y a douze jours
avatar
Je me souviens avoir appris cette technique d'extraction de racine carrée, mais je ne sais plus si c'était au collège ou au lycée. (BEPC en 1976)
Et effectivement, dans 48, combien de fois 6 ... on savait assez vite qu'avec les retenues, 8 allait être trop grand.
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