la descente infinie
Bonjour,
En feuilletant quelques numéros de la revue Tangente que mes ainés m'ont pretés, on y parle de la "descente infinie".
Je n'ai pas très bien compris en quoi celà consiste, est-ce à la portée d'un lycéen ? Si oui, une âme charitable pourrait-elle m'expliquer avec des mots aussi simples que possibles, quitte à être moins rigoureux
Merci d'avance
En feuilletant quelques numéros de la revue Tangente que mes ainés m'ont pretés, on y parle de la "descente infinie".
Je n'ai pas très bien compris en quoi celà consiste, est-ce à la portée d'un lycéen ? Si oui, une âme charitable pourrait-elle m'expliquer avec des mots aussi simples que possibles, quitte à être moins rigoureux
Merci d'avance
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Réponses
On considère qu'une propriété est vraie au rang n et on démontre qu'elle est vraie au rang n-1 .
Je pense que dans certains type d'énoncé celà permet par l'absurde de montrer qu'une propriété est fausse .
Madec
On démontre que, si un résultat vaut pour l'entier $p$, il vaut également pour un entier $p' < p$, soit $p' \leq p-1$.
On construit alors par récurrence, à partir de $n_0 = p$, une suite d'entiers $n_k$ avec, pour tout $k$, $n_{k+1} \leq n_k - 1$.
On en déduit $n_{p+1} \leq n_0 -(p+1) \leq -1$, ce qui procure la contradiction permettant de prouver que le résultat ne vaut pour aucun entier.
Merci
Fermat prétendait avoir ainsi démontré "son grand thhéorème".
Les calculs sont souvent faciles, mais fastidieux, aussi dirai-je, comme Fermat, que il n'y a pas assez de place ici pour les faire tenir.
soit (a,b,c) dans N tel que (a^2+b^2)/(1+ab) =c
démontrer que c=p^2 où p est un entier .
si je me souviens bien on construit à partir de u0=a u1=b une suite d'entier strictement décroissante u_n dont le rapport (u_n+1.^2+u_n^2)/1+ u_n+1u_n)=c
et au bout d'un certain rang n0 U_n0=0 donc c=u_n0+1^2
C'est typiquement de la descente infinie...
Madec
Menagex.
Je joins ma solution.
$a^4 + b^4 = c^2$ est possible, alors , il existe
$m
On notera tout de même que cete méthode n'est pas explicitement au programme de la classe de TS spécialité.
Borde.
gb : je vais étudier votre pdf et essayer de le comprendre
Borde : je vais chercher le sujet de bac S 2003 pour voir s'il est plus abordable (pour moi)
Et d'autres explications seront toujours les bienvenues
J'ai regardé ton pdf et il me semble que cela donne les $a, b, n \in \N*$ tels que $a^2+b^2=n(1+ab)$ or tu dis seulement que $n$ est un carré..
Amicalement,
Georges
Pour l'irrationalité de V2 (V =racine) par une descente infinie , on peut utiliser celà :
supposons V2=p/q avec p> q entiers naturels
on construit un triangle rectangle isocèle de coté q soit ABC avec AB hypothénuse de longueur p
Sur AB on repère le point M tel que AM= p-q on projette M sur le coté BC parallèlement à la direction perpendiculaire à AB pour obtenir M'
le triangle MM'B est isocèle rectangle en M , il est donc semblable au triangle initiale ; soit h=M'B la longueur de l'hypothènuse
on donc h/(p-q) = p/q=V2 ( triangle semblable)
h= (p-q)p/q = p^2/q -p = 2q-p or 0< 2q-p < p (car q<p et V2<2)
par ailleurs p-q< 2q-p car V2< 3/2
on a donc construit un nouveau triangle rectangle isocèle de longueurs de cotés entières et strictement inférieures à celles du triangle initiale .
En un nombre fini d'itération on va donc aboutir à une contradiction, c'est bien une utilisation de la descente infinie.
Madec
Date: 12-07-06 00:30
La méthode de la descente infinie, mise au point par Fermat, a beaucoup servi à montrer que certaines équations n'ont pas de solutions dans N,
.......................................................................................................................Fermat n'aurait il pas découvert sa méthode de descente infinie, en démontrant l'absence de solution dans la puissance n = 4 :
du fait que si :
p² + q² = z² d'ypothénuse, et 2pq = y² existent, alors il existerait une infinité de solutions entières de plus en plus petites;
ce qui est absurde, il ne peut exister une infinité d'entiers naturel de plus en plus petits.
Bref à voir. Sinon on peut aussi appliquer cette méthode pour démontrer qu'en dimension 2 ou 3, une sphère (centrée en 0) contient un point rationnel si et seulement si elle contient un point entier. La condition suffisante étant évidente, on peut se servir d'une descente infinie pour la condition nécessaire !