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Classe de Selberg et produit de convolution de Dirichlet

Envoyé par Sylvain 
Classe de Selberg et produit de convolution de Dirichlet
il y a treize années
avatar
Bonjour,

soient $F:s\mapsto\sum\frac{f(n)}{n^s}$ et $G:s\mapsto\sum\frac{g(n)}{n^s}$ deux fonctions de la classe de Selberg. D'après l'article de Conrey et Gosh cité par Eric Chopin (ou Borde je ne sais plus), les fonctions $f$ et $g$ sont multiplicatives. Soit $h$ la fonction multiplicative définie par $h=f*g$ où l'astérisque désigne le produit de convolution de Dirichlet. La fonction $H:s\mapsto\sum\frac{h(n)}{n^s}$ appartient-elle à la classe de Selberg ?
Merci d'avance.
Re: Classe de Selberg et produit de convolution de Dirichlet
il y a treize années
De memoire je dirais oui, notamment car H(s)=F(s)G(s), d'ou l'interet de
s'interesser en particulier au fonctions primitives, c'est a dire
ne pouvant pas s'ecrire comme produit de 2 fonctions de la classe de
Selberg.

a+

eric
Re: Classe de Selberg et produit de convolution de Dirichlet
il y a treize années
avatar
Merci beaucoup Eric. Autre question : si $F$ appartient à la classe de Selberg, en est-il de même de $1/F$ ?
Re: Classe de Selberg et produit de convolution de Dirichlet
il y a treize années
Eh non, because $(1-s)^m/F(s)$ devrait etre entiere, mais tous les zeros de
$F$ deviennent des poles en passant à $1/F$ (ne serait-ce que les zeros triviaux)... donc ca ne marche pas...

A+

eric
Re: Classe de Selberg et produit de convolution de Dirichlet
il y a treize années
avatar
Autrement dit, $(S,\times)$ forme un monoïde mais pas un groupe c'est cela ?
Re: Classe de Selberg et produit de convolution de Dirichlet
il y a treize années
Si on veut, encore que parfois on ne compte pas
la fonction constante 1 dedans pour eviter d'avoir
a l'exclure a chaque fois qu'on parle de fonction primitive....
question de convention.

a+

eric
Re: Classe de Selberg et produit de convolution de Dirichlet
il y a treize années
avatar
Et est-ce qu'une fonction donnée de $S$ se décompose de façon unique en un produit d'un nombre fini de fonctions primitives ?
Re: Classe de Selberg et produit de convolution de Dirichlet
il y a treize années
Unique (a permutation pres) je ne sais pas mais fini oui:

Corollaire 3.3 page 10 du papier de Conrey-Ghosh.

Pour l'unicité, ca n'a rien d'evident notamment si plusieurs fonctions
primitive on des facteurs gamma en commun (donc des poles en commun).

A+

eric
Re: Classe de Selberg et produit de convolution de Dirichlet
il y a treize années
avatar
Si c'était le cas, on aurait une isomorphie entre les monoïdes $(S,\times)$ et $(\N*,\times)$ non ?
Re: Classe de Selberg et produit de convolution de Dirichlet
il y a treize années
Euh, meme si c'etait vrai je ne vois pas bien ce que ca apporterait,
et rien ne dit que l'ensemble des fonctions primitives est denombrable...

a+

eric
Re: Classe de Selberg et produit de convolution de Dirichlet
il y a treize années
avatar
Ok. Effectivement, je n'avais pas pensé que l'ensemble des fonctions primitives pût être non dénombrable...
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