Olympiades de maths
dans Arithmétique
Salut,
Je bute sur cet exercice d'olympiade:
La période du développement décimal de 1/97 étant de longeur 96, déterminer ses 3 derniers chiffres.
J'avoue ne pas avoir la moindre idée, de l'aide serait appréciée!
Merci d'avance,
Je bute sur cet exercice d'olympiade:
La période du développement décimal de 1/97 étant de longeur 96, déterminer ses 3 derniers chiffres.
J'avoue ne pas avoir la moindre idée, de l'aide serait appréciée!
Merci d'avance,
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Réponses
Le dernier reste doit être égal à 1 (celui du 96ème chiffre après le virgule), et le dividende correspondant finit par 0.
Je ne sais pas si ce que je dis est très compréhensible et très rigoureux mathématiquement.
Soit N cette période de 96 chiffres, alors:
N x 97 = 99.....999 ( avec 96 fois le chiffre 9),
le premier chiffre de N est 0, et,
le dernier chiffre de N est 7, à toi de trouver les autres qui sont demandés...
97 est un nombre premier long, c'est le neuvième: http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_long
Année et référence de cet exercice, merci.
$$x=\frac{N}{10^{96}-1}$$
d'où $97N=-1+10^{96}$ et donc $97N\equiv -1 \pmod{10^{96}}$
un coup de Bezout et (sauf erreur de calcul) $N\equiv -433 \equiv 567 \pmod{10^3}$
Maintenant, si tu pouvais me dire où trouver la démonstration et/ou l'existence de cette constante d'Artin, mille mercis.
Pour revenir à la solution que j'ai essayé d'exposer, quand on pose la division, le dernier reste avant que le motif ne recommence est 1. Le dividende correspondant finit par 0, donc la dernière division euclidienne est de la forme xx0= 1 + 97 * x, où les x sont des chiffres, soit, xx9 = 97 *x. On recherche dans la table de 7 un nombre qui finit par 9 et on retrouve le 7 de 567: on a donc 680 = 1 + 97*7. On continue pour retrouver les autres chiffres. C'est une solution acccessible (très difficilement) au niveau quatrième
Pour revenir à ce qu'a dit Cucherat, c'est ce que certains élèves ont vu.