Olympiades de maths

En supposant que la suite des décimales est périodique dès la première décimale: soit N l'entier constitué des 96 premières décimales de x=1/97 , il est facile de voir que:
$$x=\frac{N}{10^{96}-1}$$
d'où $97N=-1+10^{96}$ et donc $97N\equiv -1 \pmod{10^{96}}$
un coup de Bezout et (sauf erreur de calcul) $N\equiv -433 \equiv 567 \pmod{10^3}$

Pour rebondir sur le message de bs, j'aimerais savoir si les nombres premiers longs en base 10 sont en nombre infini.

Cet exercice est tombé aux olympiades de quatrième cette année, donc hier, au moins dans l'académie de Versailles. Ils seront sûrement disponibles bientôt sur le site http://euler.ac-versailles.fr/
Pour revenir à la solution que j'ai essayé d'exposer, quand on pose la division, le dernier reste avant que le motif ne recommence est 1. Le dividende correspondant finit par 0, donc la dernière division euclidienne est de la forme xx0= 1 + 97 * x, où les x sont des chiffres, soit, xx9 = 97 *x. On recherche dans la table de 7 un nombre qui finit par 9 et on retrouve le 7 de 567: on a donc 680 = 1 + 97*7. On continue pour retrouver les autres chiffres. C'est une solution acccessible (très difficilement) au niveau quatrième

Pour revenir à ce qu'a dit Cucherat, c'est ce que certains élèves ont vu.