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Factoriel et récurrence

Envoyé par EtudiantEnMath 
EtudiantEnMath
Factoriel et récurrence
il y a treize années
Bonsoir

Voici un exercice tiré d'un livre que les membres de se forum mon conseillé, (que je remercie au passage même si je dors en moyenne une a 2 heurs de moins qu'avant ;))

Démontrer par récurrence l'inégalité suivante (2n)! < 22n (n!)2 , n un entier positif.

Donc pour n = 1 c'est bon, je suppose l'inégalité vrai pour n et j'écris l'inégalité pour n+1 : (2(n+1))!=(2n)!(2n+1)(2n+2) < 22(n+1) ((n+1)!)2 = 22n (n!)2 22 (n+1)2.
Seulement le problème c'est que (2n+1)(2n+2) > 22 (n+1)2, ce qui ne m'avance pas vraiment. En consultant la solution du livre il est dit de multiplier l'inégalité par cette autre inégalité (2n+1) < 22 (n+1)2. Ce qui nous donne (2n+1)!=(2n)!(2n+1)< 2 2(n+1) ((n+1)!)2 qui là est juste.
Bref (2n)! s'écrit (2n+1)! pour n+1 et non (2(n+1))! , contrairement au 22n qui lui s'écrit 22n+2.
Et c'est cela que je ne comprends pas.

Merci pour ceux qui auront la patience de m'aider.

[En français, induction se dit récurrence. ;) AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par AD.
Re: Factoriel et induction
il y a treize années
avatar
Bonsoir.

Effectivement, pour passer de (2n)! à (2(n+1))! il faut multiplier par :
(2n+1)(2n+2) qui vaut 2(n+1)(2n+1), à comparer à 2²(n+1)².

L'indication est fausse (écrite trop vite), mais la méthode est bonne.

Cordialement.

NB : Attention à l'orthographe ! On en a fortement besoin en maths (rigueur d'écriture = calculs justes)
Re: Factoriel et induction
il y a treize années
avatar
En fait, premièrement le livre dit n'importe quoi et deuxièmement, tu as eu la bonne idée et tu as cru avoir une inégalité dans le mauvais sens alors qu'elle est bien dans le bon sens !

On a bien $(2n+1)(2n+2)<(2n+2)^2=2^2(n+1)^2$ et non l'inverse comme tu l'as écrit.
EtudiantEnMath
Re: Factoriel et induction
il y a treize années
Merci pour vos réponces,

C'est ce que je me disais, la réponce du livre ne pouvait être juste, j'avais prouvé l'inégalité dans ma tête avant de dormir puis je ne sais pas pourquoi le matin j'ai fait un calcul foireux pendant les cours. C'est ce qui m'a fait douté.

Pour l'orthographe, je m'en excuse, je me relis toujours et j'essaye de corrigé mes fautes, mais c'est un problème que j'ai tiré derrière moi pendant toute mes études et je n'ai jamais réussis à y remédié (+ 50 fautes d'orthographe dans une dissertation sa fait mal). Pour le mot "induction" j'ai utilisé les termes du livre.

Bonne fin d'après midi.
Re: Factoriel et récurrence
il y a treize années
avatar
Bonsoir.

"induction", c'est correct, c'est un synonyme de récurrence. Par contre, c'est "factoriel" à la place de factorielle qui m'a choqué. Une partie de l'orthographe vient de la volonté de lire comment s'écrivent les mots courants (orthographe d'usage); L'autre partie est l'application des règles de conjugaison et grammaire : "C'est ce qui m'a fait douté" : C'est ce qui m'a fait pris? ou prendre?
C'est comme en maths, si on oublie d'appliquer les règles, ça n'a plus de sens.
Cordialement
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