Entiers de Gauss premiers entre eux

-D Certes, et que penser de la variable aléatoire suivante: on tire au hasard deux entiers n,p et on regarde pcgd(n,p)?

Une remarque quand-même en écho un peu alternatif à samok: l'analyse non standard (ou les ultrafiltres) est d'un grand secours et le terme "proba" est presque tout à fait légitime.

On se donne un entier supergrand $n$.

1) A chaque $A\subseteq \N$ qui est standard, on associe l'unique réel $p(A)$ (qui $\in [0;1]$) standard tel que $card(A\cap n)/n$ est supreproche de $p(A)$

2) Si on veut tirer "deux" entiers au sort, à une partie $B\subseteq \N^2$ standard, on associe $p_2(B)$ l'unique réel $b$ (qui $\in [0;1]$) standard tel que $card(B\cap n^2)/card(n^2)$ est supreproche de $b$

3) etc, etc avec $p_3, p_4, etc$

4) On a alors que certains $X\subseteq n^i$ sont tels que $p_i(X)$ dépend du $n$ superproche choisi et pas d'autres, et c'est intéressant (et formel) en soi. De plus, ce qui est attendu de l'indépendance est préservé (ie $p_{i+j}(A\times = p_i(A).p_j(B)$ dans les cas où ça a un sens)

GregInGre : Ta somme vaut environ 6. Je ne vois pas trop comment ça pourrait être une proba...

@Guego: j'avais oublié de mettre l'inverse dans la première partie de ma phrase (mais pas dans la deuxième)...De toute façon, apparemment, c'est quand même pas ça ^^

On peut voir les arguments?

Afin de simplifier les écritures, je vais tirer au hasard, non pas des entiers de Gauss non nuls , mais des classes d'équivalences modulo les inversibles.

J'appelle loi Zeta de paramètre $s$ la loi telle qui assigne à la classe de $z$ la masse
$4|z|^{-s}\Big(\displaystyle\sum_{z\in\mathbb{Z}[ i ]\setminus\{0\}}\frac{1}{\vert z\vert^s}\Big)^{-1}$.
Cette loi est bien définie pour $s>2$.

Si $X,Y$ sont indépendants, de loi Zeta de paramètre $s$ et $t$
On a alors les propriétés suivantes:
- $P(z|X)=|z|^{-s}$
- si $z$ et $z'$ sont premiers entre eux, être divisible par $z$ ou $z'$ sont des événements indépendants
- $X\wedge Y$ suit la loi Zeta de paramètre $s+t$.

Ainsi $P_s(X\wedge Y=1)=Zeta_{2s}(1)=4\Big(\displaystyle\sum_{z\in\mathbb{Z}[ i ]\setminus\{0\}}\frac{1}{\vert z\vert^{2s}}\Big)^{-1}$.

Comme référence pour ces idées, vous pouvez regarder dans Garet-Kurtzmann, pages 52-53 et 140-141. Ce sont des exos non corrigés avec juste des indications, je vais regarder si j'ai le corrigé au fond d'un disque dur.

La densité de Dirichlet des couples premiers entre eux est la limite de $P_s(X\wedge Y=1)$ lorsque $s$ tend vers $2$: c'est $4\Big(\displaystyle\sum_{z\in\mathbb{Z}[ i ]\setminus\{0\}}\frac{1}{\vert z\vert^{4}}\Big)^{-1}$.

Il est bien connu que lorsque la densité naturelle existe, elle coïncide avec la densité de Dirichlet.

[Edit: post du 10/7/13 édité le 15/6/14 à cause d'un bug latex du nouveau système]

Greg a écrit:

Plus généralement, quelle est la probabilité que deux idéaux quelconques soient premiers entre eux?

Je pense qu'en adaptant la démonstration du cas rationnel aux corps de nombres, on arrive à ton résultat.

Plus précisément, soit $K$ un corps de nombres algébriques fixé et $\mu_K$ la fonction de Möbius attachée à $K$, définie par
$$\mu_K(\mathfrak{a}) := \begin{cases} (-1)^r, & \textrm{si\ } \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_1 \dotsb \mathfrak{p}_r \\ 0 , & \textrm{sinon} \end{cases}$$
où les variables écrites en Fraktur désignent des idéaux entiers non nuls de $O_K$, et les $\mathfrak{p}_i$ sont des idéaux premiers. Il est connu que la série de Dirichlet de $\mu_K$ est $\zeta_K(s)^{-1}$, absolument convergente dans le demi-plan $\sigma > 1$. Ainsi
$$\sum_{\mathfrak{d} \mid \mathfrak{a}} \mu_K (\mathfrak{d}) = \begin{cases} 1, & \textrm{si\ } \mathfrak{a} = O_K \\ 0, & \textrm{sinon} \end{cases}$$
et donc pour tous $x,y \geqslant 1$ et en posant $m := \min(x,y)$, on a
\begin{align*}
\sum_{\substack{\mathbb{N} \mathfrak{a} \leqslant x \\ \mathbb{N} \mathfrak{b} \leqslant y \\ (\mathfrak{a}, \mathfrak{b}) = 1}} 1 &= \sum_{ \mathbb{N}\mathfrak{d} \leqslant m} \mu_K(\mathfrak{d}) \left \lfloor \frac{x}{\mathbb{N}\mathfrak{d}} \right \rfloor \left \lfloor \frac{y}{\mathbb{N}\mathfrak{d}} \right \rfloor \\
&= xy \sum_{ \mathbb{N}\mathfrak{d} \leqslant m} \frac{\mu_K(\mathfrak{d})}{\mathbb{N}\mathfrak{d}^2} + O \left ( (x+y) \sum_{ \mathbb{N}\mathfrak{d} \leqslant m} \frac{1}{\mathbb{N}\mathfrak{d}} \right ) \\
&= \frac{xy}{\zeta_K(2)} + O \left ( \frac{xy}{m} + (x+y) \sum_{d \leqslant m} \frac{\nu_K(d)}{d} \right ) \\
&= \frac{xy}{\zeta_K(2)} + O \left ( \frac{xy}{m} +(x+y) \log m \right )
\end{align*}
où $\mathbb{N}\mathfrak{d}$ désigne la norme de l'idéal entier $\mathfrak{d}$ et $\nu_K(d)$ est le nombre d'idéaux entiers de $O_K$ de norme égale à $d$. J'ai utilisé à la fin l'estimation connue $\sum_{d \leqslant x} \nu_K(d) \ll x$.

J'espère ne pas avoir fait d'erreur ! N'hésitez pas à vérifier et, si besoin, à contredire ce calcul...

Aléa a écrit:

savoir que la série de Dirichlet ${\displaystyle\sum_\mathfrak{a}\frac{1}{N_{K/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a})^s}}$ a comme abscisse de convergence 1

Cela découle directement du fait que les coefficients de cette série, à savoir les nombres $\nu_K(n)$ dont je parle ci-dessus, vérifient $\nu_K(n) \ll \tau_d(n) \ll n^{\varepsilon}$, si $d$ est le degré de $K$.

Je termine mon approche arithmétique de ce problème. Je ne devais pas être très réveillé l'autre jour, mais il est évident que, si $K = Q ( \sqrt{-1})$, alors $\zeta_K(2) = G \zeta(2)$ où $G$ est la constante de Catalan.

Dans ce qui suit, tous les résultats proviennent de la référence [1].

D'après [1, Proposition 7.131], si $K$ est un corps quadratique de discriminant $d_K$, alors sa fonction zêta de Dedekind se factorise via la fonction zêta de Riemann par $\zeta_K(\sigma) = \zeta(\sigma) L(s,\chi)$ ($\sigma >1$) où $L(s,\chi)$ est la fonction $L$ associée à l'unique caractère réel primitif de Dirichlet modulo $|d_K|$.

Mais si $K = Q ( \sqrt{-1})$, alors $|d_K| = 4$ et donc la fonction $L$ associée est la série de Dirichlet de l'unique caractère réel $\chi_4$ de Dirichlet modulo $4$. D'après [1, Example 3.76], on a $\chi_4(n) = (-1)^{(n-1)/2}$ si $n$ est impair et $0$ sinon, de sorte que
$$\zeta_K(2) = \zeta(2) \sum_{ \substack{n=1 \\ n \, \textrm{impair}}}^\infty \frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2} = \zeta(2) \sum_{ k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^2} = G \zeta(2).$$
CQFD.

{\bf Référence}.

[1] \textsc{O. Bordellès}, {\it Arithmetic Tales}, Springer, 2012.

Bonjour Egoroff,

Le fait que $\zeta_K(2) = G \, \zeta(2)$ pour $K = \Q(\sqrt{-1})$ est, comme je viens de le vérifier plus haut, une conséquence immédiate de la factorisation de la fonction zêta de Dedekind d'un corps quadratique en fonction de la fonction zêta de Riemann.

Cette factorisation n'est elle-même qu'une conséquence de la factorisation de chacune de ces trois fonctions en produits eulériens. Puisque l'égalité que j'ai écrite ci-dessus est valide pour tout réel $\sigma >1$, cette factorisation peut être considérée comme élémentaire (i.e. pas d'utilisation de la variable complexe).

Ceci dit, je crois deviner le sens de ta question que tu aurais pu éventuellement formuler comme suit : {\it pour ceux qui ignorent la factorisation en produits eulériens des fonctions zêta et $L$, y a-t-il une autre démonstration} ? Oui, Aléa en a donné un exemple en page 1.

Egoroff a écrit:

Je me demandais s'il existait une démonstration "directe" de l'égalité entre ces deux membres, disons niveau L2-L3

Aucune idée, mais il est très possible qu'il y en ait une. Il faudrait que je regarde en détail...

Quelques indications d'inégalités et égalités vérifiées par la fonction béta de Dirichlet. et une formule-type Euler pour Béta(2n). Aidera, qui sait?

@bs : j'ai fait le calcul ce matin pour un corps de nombres quelconque : si le nombre de classes vaut $1$, la réponse à ta question est donc donnée par $\zeta_K(2)^{-1}$.

La difficulté vient donc d'une évaluation explicite de la fonction zêta de Dedekind de $K$ au point $2$. Lorsque $K$ est quadratique de discriminant pas trop élevé (comme celui que tu proposes, puisqu'il est égal à $\Q(\sqrt{-3})$), on peut espérer s'en sortir. Sinon, il faut voir au cas par cas, sachant qu'en général on a pas de formule simple.

Ton corps $K = \Q(\sqrt{-3}) = \Q(j)$ est quadratique de valeur absolue du discriminant égal à $3$, de sorte que, comme ci-dessus
$$\zeta_K(2) = \zeta(2) L(2,\chi_3)$$
où $\chi_3$ est l'unique caractère primitif réel de Dirichlet de module $3$. Il est défini par $\chi_3(n) = \pm 1$ si $n \equiv \pm 1 \pmod 3$ et $\chi_3(n) = 0$ si $3 \mid n$ de sorte que $L(2,\chi_3) \approx 0,78 \, 130 \, 241 \dotsc$ (sauf erreur de ma part, et contrairement au cas $d_K >0$, on n'a pas de formule exacte lorsque $d_K <0$, à part le cas où la constante a un nom, comme celle de Catalan).

Je complète mon message précédent par une référence pour une preuve de l'identité
$ r(n)/4=\sum_{d\vert n} \chi_4(d)= (1*\chi_4)(n)$.

Hardy and Wright: p. 241-243

Ah, et oui, pour répondre à bs, j'ai vérifié ma dernière assertion ci-dessus : lorsque $d_K <0$, il n'y a effectivement pas de formule exacte pour les valeurs au point $2$ des fonctions $L$ considérées. En revanche, si $d_K >0$, on a bien quelques formules exactes connues.

Prenons par exemple le corps quadratique réel $K = \Q (\sqrt 5)$. Alors comme ci-dessus, on a $\zeta_K(2) = \zeta(2) L(2,\chi_5)$ avec $L(2,\chi_5) = \dfrac{24}{25 \sqrt 5} \, \zeta(2)$ de sorte que la probabilité d'obtenir deux idéaux entiers étrangers est donc de
$$\frac{25 \sqrt 5}{24 \zeta(2)^2} = \frac{75 \sqrt 5}{2 \pi^4} \approx 0,86 \, 0828 \dotsc$$

Bonjour Egoroff, et de rien !

De toute façon, le plus simple, le plus rapide et le plus général pour montrer ce type d'identité est d'utiliser la multiplicativité des fonctions en jeu.

Plus généralement donc, si $K$ est un corps quadratique et si $\chi$ est son caractère réel de Dirichlet associé, alors la fonction de compte $\nu_K$ vérifie $\nu_K = \chi \star \textrm{Id}$ où $\textrm{Id} : n \longmapsto n$ et $f \star g$ est l'habituel produit de convolution de Dirichlet.

Pour la démo, comme les deux membres de cette égalité représentent des fonctions multiplicatives, il te suffit de la vérifier pour $n=1$ et pour $n=p^\alpha$ est une puissance d'un nombre premier. Or, compte tenu de la décomposition d'un nombre premier dans $K$, on a immédiatement $\nu_K(p) = 1 + \chi(p)$ (et donc l'égalité est vraie pour $n=p$) et l'égalité $\displaystyle \nu_K(p^\alpha) = \sum_{d \mid p^\alpha} \chi(d)$ se vérifie aussi en distinguant les cas $p$ inerte, complètement décomposé ou ramifié et, à chaque fois, en utilisant leur norme. Quelques lignes suffisent.

Connaissant ton niveau général en mathématiques, je suis fortement convaincu que tu apprendras ça en un rien de temps ! De toute façon, c'est comme tout : une fois que tu as les codes,...

Le dernier chapitre de ce livre, qui fait pas moins de 110 pages à lui tout seul, est entièrement consacré à une introduction aux corps de nombres algébriques. Comme à chacun de ses chapitres, l'auteur démarre au début (après une brève motivation historique), puis monte relativement haut dans les aigus et, comme tous les autres chapitres, il y a une section "Further Developments" dans laquelle il aborde plusieurs thèmes plus ou moins disjoints et ayant trait à la recherche.

Il n'y a pas à proprement parler les calculs effectués ci-dessus, mais, pour presque tous les messages (sauf le dernier page 1), j'avais ce livre ouvert sous mes yeux.

Egoroff a écrit:

Tu ferais un très bon vendeur

Ouaip ! Je crois que je vais changer de métier !

Sylvain a écrit:

soit tu as un QI vertigineux, soit...tu es l'auteur de la référence que tu cites

Je crois que j'ai un QI vertigineux...

Plus sérieusement, j'ignore le niveau que je peux avoir en arithmétique (et c'est très difficile à déterminer à la lecture de mes messages postés ici), mais il y a une chose que je sais : j'ai beaucoup de références dans ce domaine ici, chez moi, et j'ai lu pas mal d'articles là-dessus. J'ai toujours considéré que l'apprentissage de n'importe quel branche des maths passait {\bf d'abord} par la lecture, relecture, re-relecture, etc, de bons livres et articles dudit domaine.

Je répète : la plupart de mes interventions ici sont dues à ce travail de lecture. Il est d'ailleurs (fortement) conseillé de vérifier ce que j'avance quand j'envoie un message.

Merci, Aléa.

Pour qui connais la chose, rien de nouveau ici, mais c'est expliqué assez clairement (je n'ai pas vu le nom de l'auteur). Par ailleurs, la preuve s'adapte aisément à un corps quadratique quelconque, selon le même modèle.

J'y vois un défaut : le terme "fonction multiplicative" doit ici être compris comme "fonction complètement multiplicative", i.e. la relation $f(mn) = f(m)f(n)$ doit être prise sans aucune restriction sur $m$ et $n$ (alors que le premier terme sous-entend que la relation est valide uniquement lorsque $m$ et $n$ sont premiers entre eux).