Nombres premiers.
dans Arithmétique
Bonjour à tous,
Je ne savais pas ou mettre mon sujet, j'espère être au bon endroit.
En m'amusant avec les nombres premiers j'ai trouvé quelque chose que je trouve intéressant, si on fait la somme des chiffres composant un nombre premier, jusqu'à obtenir un nombre inférieur ou égal à 9, par exemple :
13789 => 1+ 3 + 7 + 8 + 9 = 28
28 => 2+8 = 10
10 => 1 + 0 = 1
Et bien le résultat obtenu (en tout cas pour au moins les 100 000 premiers nombres premiers) n'est jamais ni 3 (sauf pour le 3), ni 6, ni 9.
Par contre pour les nombres non premiers, le résultat est majoritairement 3, 6 et 9.
Voici le résultat obtenu par un programme que j'ai écris pour les nombres de 0 à 100 000 :
Resultat pour les nombres premiers :
0 => 0
1 => 1592
2 => 1604
3 => 1
4 => 1601
5 => 1604
6 => 0
7 => 1591
8 => 1599
9 => 0
Resultat pour les nombres non premiers :
0 => 1
1 => 9520
2 => 9507
3 => 11110
4 => 9510
5 => 9507
6 => 11111
7 => 9520
8 => 9512
9 => 11111
Qu'est ce que vous en pensez ?
Je ne savais pas ou mettre mon sujet, j'espère être au bon endroit.
En m'amusant avec les nombres premiers j'ai trouvé quelque chose que je trouve intéressant, si on fait la somme des chiffres composant un nombre premier, jusqu'à obtenir un nombre inférieur ou égal à 9, par exemple :
13789 => 1+ 3 + 7 + 8 + 9 = 28
28 => 2+8 = 10
10 => 1 + 0 = 1
Et bien le résultat obtenu (en tout cas pour au moins les 100 000 premiers nombres premiers) n'est jamais ni 3 (sauf pour le 3), ni 6, ni 9.
Par contre pour les nombres non premiers, le résultat est majoritairement 3, 6 et 9.
Voici le résultat obtenu par un programme que j'ai écris pour les nombres de 0 à 100 000 :
Resultat pour les nombres premiers :
0 => 0
1 => 1592
2 => 1604
3 => 1
4 => 1601
5 => 1604
6 => 0
7 => 1591
8 => 1599
9 => 0
Resultat pour les nombres non premiers :
0 => 1
1 => 9520
2 => 9507
3 => 11110
4 => 9510
5 => 9507
6 => 11111
7 => 9520
8 => 9512
9 => 11111
Qu'est ce que vous en pensez ?
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Réponses
Ces tests sont super-chouettes.
Peut-être que la raison est à chercher quelque part autour de la preuve qu'on nous apprenait étant petite pour voir si nous nous étions trompés en calculant une multiplication posée et qu'on appelait "preuve par 9".
Un nombre est congru à (a le même reste que) la somme de ses chiffres modulo 9 (dans une division par 9).
Pour votre exemple, 13789 et 1+3+7+8+9=28 ont tous les deux pour reste 1 dans une division par 9.
Or, tous les nombres premiers (à part 2 et 3) sont de la forme 6x-1 ou bien 6x+1. Ils doivent être impairs et non divisibles par 3.
Mais dans la division par 9, ça veut dire qu'il ne peuvent pas avoir pour reste 0, 3, 6 ou 9. Cela doit expliquer vos résultats.
Cordialement,
Denise Chemla
Je ne sais pas si il existe des résultats de cette nature..(une conséquence cachée de Dirichlet?)
et bien tout simplement tous les nombres premiers >5 congrus à 1modulo 30 ou à P modulo 30, avec P premier appartenant à [7;30]. soit 8 suites arithmétiques de raison 30 et de premier terme 1, ou P.
Puis, comme cela à été dit par Denise ; la division de 1 et de ces 7 premiers par 9 donne bien les restes R = 1,4 7 ; et 2,5 8.
ce qui implique les premiers de la formes 3k+1 ou 3k-1.
5 bien entendu, à pour reste 5 par 9.
Un petit peu dans le même ordre d'idée mais j'ai du mal à comprendre tous les tenants et les aboutissants de ce "truc", proposé par un magicien des nombres :
- prenez le nombre 142 857 ;
- multipliez le par les chiffres 2, 3, 4, 5, 6 ;
- multipliez le aussi par 7 ;
- multipliez le enfin par 8 et 9 ;
- que constatez-vous ?
- pourquoi ?
- est-ce qu'on pourrait obtenir le même genre de "résultats rigolos" avec d'autres nombres plus courts ou plus longs, et si oui, lesquels ?...
Je n'ai pas tout à fait les réponses aux deux dernières questions.
Bonne réflexion.
Cordialement.
c'est la magie des entiers...
Après à part remarquer que c'est un multiple de 9, et de chercher le pourquoi , ou si il y en a d'autre...ce qui ne sertait pas impossible avec la preuve par 9 pourquoi pas...
D'après le Grand Classique Mathématique que chacun devrait avoir dans sa bibliothèque.
C'est juste pour me mettre au niveau de ce fil de discussion.
http://projecteuler.net/problem=51
Je l'avais déjà résolu avant ton indication.
Je ne possède pas le livre préconisé par Raymond, mais le truc de Denise marche uniquement avec les nombres cycliques : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cyclique . Ces nombres cycliques sont de la forme $\dfrac{10^p-1}{p}$ où $p$ est un nombre premier long: http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_long. Un nombre premier long est un nombre premier dont la période de $\dfrac{1}{p}$ est de longueur $p-1$.
L'exemple de Denise correspond au premier nombre premier long 7, et la période de $\dfrac{1}{7}$ est... 142857.
L'exemple proposé par Raymond correspond au nombre premier long 19, dont la période de $\dfrac{1}{19}$ est 052631578947368421. Raymond a positionné le 0 à la fin, ce qui ne change rien à la propriété car ce nombre est ...cyclique..
La proportion de nombres premiers longs parmi les nombres premiers est la constante d'Artin : 0,373 955...
Séquence souvenir : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,434905,434905#msg-434905
Il n'y a pas beaucoup de magie là-dedans, mais beaucoup de plaisir
Amicalement.
Bonne soirée.
RC
Je transmettrai à qui de droit.
Il me tarde de connaître la blague à Raymond.
Cordialement.
On joue encore ?
Si on prend le nombre cyclique de Denise : 142 857, on a : $142 + 857 = 999$ et aussi : $14 + 28 + 57 = 99.$
Si on prend celui de Raymond : 052631578947368421, on a : $052631578 + 947368421 = 999999999$ et aussi : $052631+578947+368421=999999.$
Amicalement.
Très contente d'hériter d'un nombre cyclique !
En fait, il appartient davantage à ce magicien des nombres, qui a épaté l'assistance en l'utilisant lors d'un voyage.
Les mathématiques utilisent donc tous les moyens en leur pouvoir pour se propager dans les esprits !
Cordialement.
Il suffit d'examiner les 6 cas possibles : 6k-2, 6k-1, 6k, 6k+1,6k+2,6k+3. On voit immédiatement que pour k>0 il n'y a que deux des 6 cas qui peuvent donner des nombres premiers.
Cordialement.
1+4+2+8+5+7 = 27 ; 2+7=9
ou
1+42+85+7 =135 ; 1+3+5=9
ou
142+8+5+7=162 ; 1+6+2=9
ou
14+2857=2871 ; 28+71=99
ou
1428+57=1485 ; 14+85=99
Et on peut continuer loin comme ça :
142 857 * 142 857 = 20 408 122 449 ;
20 + 40 + 81 + 22 + 44 + 9 = 216 ; 2+1+6 = 9
204 081 + 22 449 = 226 530 ; 2 + 2 + 6 + 5 + 3 = 18 ; 1 + 8 = 9
C'est vraiment étonnant les nombres.
Pour en revenir aux nombres premiers j'ai trouvé une propriété amusante, quand on multiplie les nombres premiers les uns à la suite des autres, l'addition des chiffres composant le résultat est toujours une double succession de 6 et de 3 :
2 x 3 = 6
6x5 = 30 ; 3+0 = 3
30x7=210; 2+1 = 3
210x11=2 310 ; 2+3+1 = 6
2310x13 = 30 030 ; 3+3 = 6
30030x17 = 510 510 ; 5+1+5+1= 12 ; 1+2 = 3
510 510x19=9 699 690 => 48 => 12 => 3
9 699 690x23=223 092 870 => 33 => 6
223 092 870x29=6 469 693 230 => 48 => 12 => 6
6 469 693 230x31=200 560 490 130 => 30 => 3
200 560 490 130x37=7 420 738 134 810 => 48 => 12 => 3
...
Et ça continue comme ça. ça sert à rien mais je trouve ça magique.
> 223 092 870x29=6 469 693 230 => 48 => 12 => 6
1+2=3 (:P)
L'espace d'un instant j'ai eu peur que quelqu'un ait trouvé une réguarité parfaite dans la suite des nombres premiers
j'allais le dire à l'instant
Le produit des n premiers nombres premiers est divisible par 3, donc la somme des chiffres (récursif) est divisible par 3, soit 3, 6 ou 9
Et il n'y a pas de 9 car aucun des produits n'est divisible par 9
> En effet, j'ai été trop vite, désolé
je ne crois pas qu'on ait déjà trouvé une quelconque régularité dans la liste des nombres premiers
Par rapport aux nombres premiers, je reste focalisée sur cette idée de symétrie brisée. On peut voir l'ensemble des nombres premiers comme une structure dont la symétrie serait de plus en plus perturbée. J'essaie d'expliquer cela : prenons les nombres entiers de 1 à 30, on constate une symétrie entre les nombres premiers autour de la moitié de 30, 15, de la façon suivante :
13=15-2 tandis que 17=15+2
11=15-4 tandis que 19=15+4
et enfin 7=15-8 tandis que 23=15+8.
Je viens de faire les calculs seulement aujourd'hui pour la ligne 1..210, de milieu 105, et reste finalement assez impressionnée.
103=105-2 tandis que 107=105+2
101=105-4 tandis que 109=105+4
97=105-8 tandis que 113=105+8
83=105-12 tandis que 127=105+12
79=105-26 tandis que 131=105+26
73=105-32 tandis que 137=105+32
71=105-34 tandis que 139=105+34
61=105-44 tandis que 149=105+44
59=105-46 tandis que 151=105+46
53=105-52 tandis que 157=105+52
47=105-58 tandis que 163=105+58
43=105-62 tandis que 167=105+62
37=105-68 tandis que 173=105+68
31=105-74 tandis que 179=105+74
29=105-76 tandis que 181=105+76
19=105-86 tandis que 191=105+86
17=105-88 tandis que 193=105+88
13=105-92 tandis que 197=105+92
11=105-94 tandis que 199=105+94
Il y a bien évidemment des nombres premiers dont le "complémentaire" ne l'est pas, et cela ne va pas aller en s'améliorant, forcément. Cependant, cette façon de voir semble assez appropriée.
Problème : je ne sais pas comment ces "brisures de symétrie" s'écrivent, se formalisent, et donc j'en resterai à mes ressentis impressionnistes.
Cordialement.
499 - 500 - 501
497 - 500 - 503
491 - 500 - 509 *
487 - 500 - 513
479 - 500 - 521 *
477 - 500 - 523
467 - 500 - 533
463 - 500 - 537
461 - 500 - 539
459 - 500 - 541
457 - 500 - 543
453 - 500 - 547
449 - 500 - 551
443 - 500 - 557 *
439 - 500 - 561
437 - 500 - 563
433 - 500 - 567
431 - 500 - 569 *
429 - 500 - 571
423 - 500 - 577
421 - 500 - 579
419 - 500 - 581
413 - 500 - 587
409 - 500 - 591
407 - 500 - 593
401 - 500 - 599 *
399 - 500 - 601
397 - 500 - 603
393 - 500 - 607
389 - 500 - 611
387 - 500 - 613
383 - 500 - 617 *
381 - 500 - 619
379 - 500 - 621
373 - 500 - 627
369 - 500 - 631
367 - 500 - 633
359 - 500 - 641 *
357 - 500 - 643
353 - 500 - 647 *
349 - 500 - 651
347 - 500 - 653 *
341 - 500 - 659
339 - 500 - 661
337 - 500 - 663
331 - 500 - 669
327 - 500 - 673
323 - 500 - 677
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313 - 500 - 687
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307 - 500 - 693
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257 - 500 - 743 *
251 - 500 - 749
249 - 500 - 751
243 - 500 - 757
241 - 500 - 759
239 - 500 - 761 *
233 - 500 - 767
231 - 500 - 769
229 - 500 - 771
227 - 500 - 773 *
223 - 500 - 777
213 - 500 - 787
211 - 500 - 789
203 - 500 - 797
199 - 500 - 801
197 - 500 - 803
193 - 500 - 807
191 - 500 - 809 *
189 - 500 - 811
181 - 500 - 819
179 - 500 - 821 *
177 - 500 - 823
173 - 500 - 827 *
171 - 500 - 829
167 - 500 - 833
163 - 500 - 837
161 - 500 - 839
157 - 500 - 843
151 - 500 - 849
149 - 500 - 851
147 - 500 - 853
143 - 500 - 857
141 - 500 - 859
139 - 500 - 861
137 - 500 - 863 *
131 - 500 - 869
127 - 500 - 873
123 - 500 - 877
119 - 500 - 881
117 - 500 - 883
113 - 500 - 887 *
109 - 500 - 891
107 - 500 - 893
103 - 500 - 897
101 - 500 - 899
97 - 500 - 903
93 - 500 - 907
89 - 500 - 911 *
83 - 500 - 917
81 - 500 - 919
79 - 500 - 921
73 - 500 - 927
71 - 500 - 929 *
67 - 500 - 933
63 - 500 - 937
61 - 500 - 939
59 - 500 - 941 *
53 - 500 - 947 *
47 - 500 - 953 *
43 - 500 - 957
41 - 500 - 959
37 - 500 - 963
33 - 500 - 967
31 - 500 - 969
29 - 500 - 971 *
23 - 500 - 977 *
19 - 500 - 981
17 - 500 - 983 *
13 - 500 - 987
11 - 500 - 989
9 - 500 - 991
7 - 500 - 993
5 - 500 - 995
3 - 500 - 997 *
2 - 500 - 998
Mais il faudrait recommencer avec comme milieux uniquement des produits de premiers impairs successifs, c'est pour ça que j'avais choisi 105, moitié de 210=2x3x5x7 et calculer la proportion (quitte à programmer...).
Mais comme dit un sympathique professeur "là, il fait trop chaud pour travailler du chapeau !".
Cordialement.
(j'ai exclu les lignes ou il n'y a aucun nombres premiers)
2 => 691 - 693 - 695
8 => 685 - 693 - 701
10 => 683 - 693 - 703
16 => 677 - 693 - 709 *
20 => 673 - 693 - 713
26 => 667 - 693 - 719
32 => 661 - 693 - 725
34 => 659 - 693 - 727 *
40 => 653 - 693 - 733 *
46 => 647 - 693 - 739 *
50 => 643 - 693 - 743 *
52 => 641 - 693 - 745
58 => 635 - 693 - 751
62 => 631 - 693 - 755
64 => 629 - 693 - 757
68 => 625 - 693 - 761
74 => 619 - 693 - 767
76 => 617 - 693 - 769 *
80 => 613 - 693 - 773 *
86 => 607 - 693 - 779
92 => 601 - 693 - 785
94 => 599 - 693 - 787 *
100 => 593 - 693 - 793
104 => 589 - 693 - 797
106 => 587 - 693 - 799
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118 => 575 - 693 - 811
122 => 571 - 693 - 815
124 => 569 - 693 - 817
128 => 565 - 693 - 821
130 => 563 - 693 - 823 *
134 => 559 - 693 - 827
136 => 557 - 693 - 829 *
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326 => 367 - 693 - 1019 *
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380 => 313 - 693 - 1073
382 => 311 - 693 - 1075
386 => 307 - 693 - 1079
394 => 299 - 693 - 1087
398 => 295 - 693 - 1091
400 => 293 - 693 - 1093 *
404 => 289 - 693 - 1097
410 => 283 - 693 - 1103 *
412 => 281 - 693 - 1105
416 => 277 - 693 - 1109 *
422 => 271 - 693 - 1115
424 => 269 - 693 - 1117 *
430 => 263 - 693 - 1123 *
436 => 257 - 693 - 1129 *
442 => 251 - 693 - 1135
452 => 241 - 693 - 1145
454 => 239 - 693 - 1147
458 => 235 - 693 - 1151
460 => 233 - 693 - 1153 *
464 => 229 - 693 - 1157
466 => 227 - 693 - 1159
470 => 223 - 693 - 1163 *
478 => 215 - 693 - 1171
482 => 211 - 693 - 1175
488 => 205 - 693 - 1181
494 => 199 - 693 - 1187 *
496 => 197 - 693 - 1189
500 => 193 - 693 - 1193 *
502 => 191 - 693 - 1195
508 => 185 - 693 - 1201
512 => 181 - 693 - 1205
514 => 179 - 693 - 1207
520 => 173 - 693 - 1213 *
524 => 169 - 693 - 1217
526 => 167 - 693 - 1219
530 => 163 - 693 - 1223 *
536 => 157 - 693 - 1229 *
538 => 155 - 693 - 1231
542 => 151 - 693 - 1235
544 => 149 - 693 - 1237 *
554 => 139 - 693 - 1247
556 => 137 - 693 - 1249 *
562 => 131 - 693 - 1255
566 => 127 - 693 - 1259 *
580 => 113 - 693 - 1273
584 => 109 - 693 - 1277 *
586 => 107 - 693 - 1279 *
590 => 103 - 693 - 1283 *
592 => 101 - 693 - 1285
596 => 97 - 693 - 1289 *
598 => 95 - 693 - 1291
604 => 89 - 693 - 1297 *
608 => 85 - 693 - 1301
610 => 83 - 693 - 1303 *
614 => 79 - 693 - 1307 *
620 => 73 - 693 - 1313
622 => 71 - 693 - 1315
626 => 67 - 693 - 1319 *
628 => 65 - 693 - 1321
632 => 61 - 693 - 1325
634 => 59 - 693 - 1327 *
640 => 53 - 693 - 1333
646 => 47 - 693 - 1339
650 => 43 - 693 - 1343
652 => 41 - 693 - 1345
656 => 37 - 693 - 1349
662 => 31 - 693 - 1355
664 => 29 - 693 - 1357
668 => 25 - 693 - 1361
670 => 23 - 693 - 1363
674 => 19 - 693 - 1367 *
676 => 17 - 693 - 1369
680 => 13 - 693 - 1373 *
682 => 11 - 693 - 1375
686 => 7 - 693 - 1379
688 => 5 - 693 - 1381 *
690 => 3 - 693 - 1383
691 => 2 - 693 - 1384
Merci.
Cordialement.
Cordialement.
Cordialement.
tu écris l'ensemble des entiers naturels >0; sous forme de suites arithmétiques de raison 11; donc 11 suites
il est clair que la suite de premier terme 11 contient les multiples de 11. et pour les nombres premiers, il suffit d'appliquer la méthode d'Eratosthène...tu barres les multiples de 3 tous les trois nombres, puis les multiples de 5 tous les 5 nombres... etc etc, tous les multiples de p, tous les p nombres.
concernant le post précédent: ou tu fais apparaîtres les couples de premiers avec une *.
à partir de la moitié d'un nombre pair:
exemple:
693 = 7*9*11.
J'espère que tu as remarqué, qu'il s'agit de la conjecture de Goldbach, et de la décomposition en somme de deux premiers (p+q) qui décomposent : 693 * 2 = 1386.
et forcément le nombre de couples (p,q) marqué d'une étoile *, de part et d'autre de 693, est le même nombre de couples, qui décomposent 1386 en somme de deux premiers....
il ne risque donc pas d'y avoir de symétrie.....
Par exemple, tu pourrais aussi, aléger ton fichier de raison 11, en supprimant tous les multiples de 2,3 et 5, et ne garder que les 8 suites arithmétiques de raison 30 "ou en base 30 selon tes dires"
avec comme premiers terme : {1,7,11,13,17,19,23,29}
ce qui représent 26,66....% des entiers naturels ainsi que tous les nombre premiers > 5.
cette conjecture, n'apporte pas grand chose à la régularité des premiers...pour moi je pense que la régularité vient de la raison 1 entre chaque entier naturel...et les nombres premiers viennent boucher les trous...afin de garder cette raison 1 .
les mathématiques doivent tenir compte justement des signes, ou alors on fait ce que l'on veut....
C'est sur que si la conjecture etait vraie ce serait mieux: ca donnerait une formule simple pour le n-ieme nombre premier
Evitons d'etre aussi exigeants. Une propriete de regularite pour les nombres premiers qui est non triviale et exacte (dans le sens ou elle est satisfaite par tous les premiers et pas juste une certaine proportion) est toujours etonnante, qu'il y ait des valeurs absolues ou pas en jeu..
respectons les signes et regardons si la propriété indique toujours une régularité des nombres premiers....
Après chacun voit midi à sa porte. ...
b_n = |a_n - a_{n+1}| voila ce que dit WIKI pour les lignes b_n suivantes donc la première ligne b_n, n'a que des valeurs négatives ,-1,-2......-n
mais il ne faut pas en tenir compte on ne doit prendre en compte que des valeurs "donc positives" et ensuite on peut dire qu'effectivement les vessies et les lanternes c'est du pareil au même....je rigole:)o
Je préfère arrêter sur ce sujet...bonne soirée.
Tiens ! Des valeurs absolues négatives !! On n'arrête pas le progrès !!!