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Agreg interne méthode de Newton

Envoyé par permaths 
Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
Bonjour à tous,
je travaille sur la méthode de Newton. Il est proposé en développement dans le Ketrane Elineau (p 253).

Dans la 1ère partie, on montre que la valeur absolue de la dérivée d'une fonction phi est majorée strictement par 1 sur un voisinage.
Il en est alors déduit, par l'inégalité des accroissements finis, que phi est contractante sur ce voisinage.

Cela ne me paraît pas correct.
Qu'en pensez-vous ?
Merci par avance pour votre retour



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: agreg interne méthode de Newton
l’an passé
avatar
Si $\phi$ est $C^1$, alors si $|\phi'|<1$ sur $V$, avec $V$ un voisinage de $a$, alors on peut prendre un segment $W\subset V$ tel que $a\in\stackrel{\circ}{W}$. On a alors $\phi'(W) \subset ]-1;1[$ et c'est un segment, donc il existe $k<1$ tel que $|\phi'| \le k$ sur $W$.

Donc peut-être que $\phi$ n'est pas contractante sur ce voisinage, mais $\phi$ est bien contractante sur un voisinage.
Re: agreg interne méthode de Newton
l’an passé
Oui effectivement j'avais noté aussi que la démo me semblait passer un peu vite sur ce détail que soulève marsup.

Je pense effectivement qu'en toute rigueur, il y a une petite coquille dans la démo
Re: agreg interne méthode de Newton
l’an passé
ok merci à vous deux smiling smiley

si je peux me permettre une autre question sur une potentielle autre coquille :
dans le Rombaldi un exercice sur les matrices symétriques et anti-symétriques réélles, dans une démonstration, il est utilisé que leur produit est anti-symétrique et je ne vois pas pourquoi (référence soit Algèbre et géométrie exercice 15.12 p 494 ou exercices oral2 agrégation interne exercice 13.3 p 170)
Re: agreg interne méthode de Newton
l’an passé
bonjour,

a priori cela serait vrai ssi les deux matrices commutent ... non ?
Re: agreg interne méthode de Newton
l’an passé
mais pourquoi commuteraient-elles ?
Re: agreg interne méthode de Newton
l’an passé
Deux matrices symétriques/anti-symétriques quelconques ne commutent pas en général. (et leur produit n'est donc pas sym/anti-sym en général)

Peut-être que les matrices considérées s'écrivent comme des polynômes en une même matrice A, ou bien qu'elles sont issues d'un ensemble de matrices qui commutent deux à deux.
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
effectivement rien ne dit que les deux matrices considérées commutent. Cela dit l'objectif étant de montrer que Tr(MN)=0 , peut-être peut-on prouver avec le produit matriciel que la trace est nulle .
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
j'ai vérifié au brouillon et finalement on a bien Tr(MN)=0 pour M symétrique et N antisymétrique donc l'exercice de Mr ROMBALDI est correct modulo l'affirmation que MN est antisymétrique...
Re: agreg interne méthode de Newton
l’an passé
Je l'ai bossé la semaine dernière, et ce détail m'avait aussi posé problème.
j'ai préféré choisir 0.9 que 1.
phi'(alfa) = 0 en étant continue, donc il existe un voisinage sur lequel phi'(x) < 0.9
et là, ça marche.
Sinon, 1 serait suffisant pour utiliser le théorème du point fixe sur un compact, mais pas sur un espace complet, je pense.
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
avatar
Citation
Matrixx
correct modulo l'affirmation[...]
(sans doute, mais du faux on peut toujours déduire le vrai !)

Sinon, pour $S$ symétrique et $A$ antisymétrique, alors, en notant $M = AS+SA$, celle-ci vérifie ${}^t M = {}^tS{}^tA+{}^tA{}^tS = - SA - AS = -M$. (Ainsi $M$ est antisymétrique. La matrice $N=AS - SA$ est symétrique.)

Donc en effet, $tr(M) = tr({}^t M) = - tr(M) (=0)$, puis par propriété de commutation de la trace : $tr(M) = 2 \times tr(AS) (= 0)$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par AD.
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
super, merci smiling smiley
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
avatar
Autre rédaction, si $A$ est symétrique et $B$ antisymétrique :
\begin{align*}
Tr(AB)&=\underset{i}{\sum }(AB)_{ii}=\underset{i}{\sum }\underset{k}{\sum }
(A)_{ik}(B)_{ki}=\underset{i}{\sum }\underset{k}{\sum }(A)_{ki}(-(B)_{ik}) \\
&=-\underset{i}{\sum }\underset{k}{\sum }(B)_{ik}(A)_{ki}=-\underset{i}{\sum }(BA)_{ii}=-Tr(BA)\\
&=-Tr(AB).
\end{align*} Bonne journée.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par AD.
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
avatar
Merci AD d'embellir mes vilains calculs.
[À ton service. smiling smiley AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par AD.
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
Bonjour,
Rien à voir avec la méthode de Newton mais dans le livre Ketrane Elineau dans le développement "image de l'exponentielle", pour prouver que l'exponentielle réalise une bijection entre les matrices nilpotentes et les matrices unipotentes, on utilise un développement en série entière de $\ln(I_n+N)$ quelle que soit la matrice $N$. Il ne manque pas une condition sur la norme de cette matrice $N$ ? Ne doit-elle pas être inférieure à 1 ?
Merci.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par alibabadu59.
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
avatar
...quelle que soit la matrice...
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
Bonjour,

On s'éloigne un peu du sujet de départ mais j'ai une question toujours concernant le livre de Ketrane, concernant le développement 14.

En fait je ne sais pas trop s'il y a une erreur où si c'est moi qui loupe un truc.

On essaye de montrer que si toutes les valeurs propres de A ont une partie réelle inférieur ou égale à 0 alors, les solutions de X'=AX sont bornées sur IR+.

On se réfère à un travail fait dans la question précédente mais dans laquelle on avait à priori des valeurs propres dont la partie réelle était strictement inférieure à 0.

Du coup, quid du cas où il existe une valeur propre dont la partie réelle vaut 0 ?

Merci d'avance !
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - D14.pdf (56.7 KB)
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
Bonjour,
je bosse aussi la méthode de Newton dans le Ketrane.
Pour la démo 2)a), je ne vois pas bien pourquoi le fait que x 0 appartient à l'intervalle ]alpha, b[ montre que la suite est bien définie. C'est le voisinage ?
Que faut-il pour qu'elle soir bien définie en fait ?
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par AD.
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
pour que x(n+1) existe, il faut que f(x(n)) et f'(x(n) ) existent donc que x(n) soit dans l'intervalle de définition de f et f' c'est à dire [a,b].

Or on montre que [alpha, b] est stable par phi et que x(0) est dans cet intervalle. Donc x(1) = phi(x(0)) l'est aussi, et par récurrence, pour tout n, x(n) est dans [alpha,b] et permet de définir x(n+1) à son tour.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par Romanesco.
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
Merci Romanesco. C'est très clair :)
Par contre, je ne me vois pas encore faire un tel développement si je suis admissible.
Il va me falloir le bosser et rebosser encore et encore...
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
Je me rassure en disant que celles qui ont proposé ces développement ( même s'ils sont classiques ) ont été très bien classées ;)
L'avantage c'est que ça prépare à l'écrit en même temps !

Si tu as bossé (ou va bosser sur le D14) et que tu sais répondre à la question que j'ai posée plus haut, je suis preneur aussi :D
Ou si qq'un d'autre la voit, 3 ou 4 messages plus haut et concernant une CNS pour que les solutions de X' = AX soient bornées.
Re: Agreg interne méthode de Newton
l’an passé
Je n'ai pas encore bossé cette leçon, Romanesco.
Mais pourquoi pas, dans la semaine :)
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a deux mois
Je fais remonter le sujet : j ai un problème sur cet exercice juste après le problème soulevé par le post :

Ketrane, méthode de Newton

Phi est contractante sur un voisinage F donc ce voisinage F est stable par Phi ... cela me laisse perplexe ayant un contre-exemple qui, me semble-t-il, contredit cette affirmation
et donc je ne vois pas comment on peut finir la démo et conclure que xn est bien définie avec xn+1=phi(xn).

[Les noms propres prennent toujours une majuscule. AD]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a deux mois
Tu peux publier un scan de toute la démonstration ?
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a deux mois
Si les valeurs propres de $A$ sont de partie réelle négatives ou nulles, aucune raison a priori que les solutions soient bornées sur $\R^+$.

Si je pose $X(t)=\begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix}$, on a $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$


Romanesco écrivait : [www.les-mathematiques.net]
-------------------------------------------------------



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a deux mois
Les blocs de Jordan des matrices nilpotentes vont faire apparaître des polynômes en $t$ ...
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a deux mois
Oups, désolé, la remontée récente du fil ne m'a pas fait réaliser que j'attaquais une question ancienne ... Shame on me !
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a deux mois
J'ai joint la démo ci-dessous et souligné ce qui me dérange.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.


Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a deux mois
Sauf erreur de ma part voilà une réponse.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.


Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Newton.pdf (54.7 KB)
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a deux mois
Merci Wronskien , je crois que je viens de comprendre !!

Le fait que F est stable par Phi vient du fait que tu le choisis comme étant un intervalle ouvert centré en alpha (ce qu'on peut toujours faire).

Mais ça ne marcherait pas forcément si F n'était pas centré en alpha ??



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a deux mois
Pourquoi cela ne marcherait-il pas ? Essaie, prends $F=]\alpha - h,\alpha +k[$ avec $h>0$ et $k>0$.

Cordialement.

NB : Avant de poser une question, il est possible d'y réfléchir soi-même.
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a deux mois
Citation
ajuma
Mais ça ne marcherait pas forcément si F n'était pas centré en alpha ??

Je reformule ma remarque : ça ne marcherait pas forcement pour tout voisinage de alpha. Je joins un contre exemple qui me semble correct.

Comment faites-vous pour que le pdf apparaisse dans le post ?

[Les pdf ne s'affichent pas, mais une copie d'écran (png ou jpg) oui. AD]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.


Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - scanketranenewton4 contre exple.pdf (2.66 MB)
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a deux mois
Effectivement,

tu as raison; un voisinage, ça peut contenir des tas de choses !! Même "un ouvert", ça ne marche pas. Et pour un intervalle ouvert contenant $\alpha$, ça peut ne pas marcher.

Cordialement.
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a deux mois
Exactement ajuma!

Il faut choisir un bon candidat pour l'ouvert F !

C'est un classique et je pense que le candidat qui présente ce développement le jours de l'oral sans l'avoir bien préparé peut se faire coincer par le jury facilement notamment sur la question que tu te posais !

(J'ai eu le même soucis de compréhension que toi il y a quelques années quand je préparais l'agrégation interne ! Il m'a fallu plusieurs heures de recherches pour comprendre ! Maintenant je ne l'oublierai jamais.)

Bonne préparation !
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a cinq semaines
Bonjour,
Préparant ce développement, et me rappelant la fourberie du sujet, je refais un saut sur ce topic :)
En fait, je vois bien le problème mis en avant par ajuma... Ce n'est pas parce que phi est contractante que tous les voisinages de alpha seront stables par phi.

Mais je ne comprends pas bien finalement ce qu'il faut répondre !

Il faut dire quelque chose du genre "Phi étant contractante sur F, il existe un voisinage H de alpha stable par Phi" c'est bien ça ?

D'avance merci pour vos éclaircissements !
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a cinq semaines
Et aussi.. En quoi prendre 0,9 à la place de 1 change la donne ?

Merci :)
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a cinq semaines
Le problème était de prouver la stabilité de F par phi!

Et dans la démonstration qui est publiée ici, on parle d'existence d'un ouvert F! Il suffit de le choisir judicieusement pour que les choses se passent bien!

Ensuite le 0.9 on s'en fiche...
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a cinq semaines
Merci !

Donc il suffit de dire : "phi est contractante sur F, donc il existe dans F un voisinage de alpha stable par phi"

Mais ce n'est pas forcément F tout entier, c'est bien ça ?
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a cinq semaines
Je dirais plutôt :

Il existe un voisinage F (que tu choisis centré en alpha) dans lequel phi est contractante ce qui implique que F est stable par phi.
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a cinq semaines
Merci :)
Je rajoute ça à ma besace !
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a cinq semaines
Bonsoir,
Je ne pense pas, de mon point de vu il faut bien construire ton voisinage F pour que ça marche.

Le contre exemple d'Ajuma soulève une question théorique interessante mais dans la pratique sa suite de premier terme 10 converge vers 4 sans se poser la question de savoir si le F choisit est stable...

Ce qu'il faut retenir du topic c'est: ne pas écrire F mais expliciter ce voisinage sous la forme d'un intervalle centré en alpha (comme l'a fait Wronskien dans sa démonstration).
C'est dans cette forme qu'il apparaît quand tu démontre son existence par la continuité de phi' et c'est comme ça que tu l'utilises pour montrer que le caractère contractant de phi implique la stabilité de ce voisinage par phi.

Cordialement.
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a cinq semaines
Merci math2 pour ton éclairage concernant la résolution de X'=AX. La question datait effectivement, et mes remerciements aussi...

Ensuite, pour revenir sur le sujet principal, je ne dirais pas qu'on s'en fiche du 0,9. C'est une rédaction alternative à ce qu'avait proposé marsup en tout debut de post, mais quoi qu'il arrive, il me semble qu'il faut savoir justifier pourquoi la majoration stricte de la dérivée de phi par 1 implique que phi soit contractante, ce qui est peut-être aussi un détail sur lequel le jury peut fouiller un peu.
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a cinq semaines
avatar
Bonsoir,
Il me semble que $F$ est un voisinage inclus dans un voisinage $V$ sur le quel $f$ ne s'annule pas. Je pense que ça a son importance.
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a cinq semaines
Oui, pour que $\phi$ soit définie il faut que $f'$ ne s'annule pas (on quotiente par $f'(x)$) d'où l'introduction de $V$, ensuite pour que la suite récurrente soit définie il faut que le premier terme $x_{0}$ soit inclus dans un ensemble stable par $\phi$, d'où l'introduction de $F\subset V$, enfin ce $F$ ne doit pas être choisi n'importe comment, pour que la suite récurrente converge vers $\alpha$ il faut que $\phi$ soit contractante sur $F$ (et que $\alpha$ soit un point fixe de $\phi$ ) .

Essentiellement, c'est le point faible de la methode de Newton: il faut connaître la position "relativement" précise des zéros pour pouvoir appliquer l'algorithme.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Bastien.
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a cinq semaines
Pas nécessairement, si la fonction est monotone et [convexe ou concave], ça converge à tous les coups en partant du bon côté. Et si on part du mauvais côté, soit on s'y retrouve au coup suivant, soit on sort du domaine.
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a quatre semaines
Il ne faut pas prendre n'importe quelle approximation de la racine, surtout si on contrôle les signes de $f'$ et $f''$. Il faut exiger un encadrement de la racine et choisir la bonne borne comme premier terme de la suite.
Re: Agreg interne méthode de Newton
il y a trois semaines
avatar
Je fais remonter, il me semble qu'il faut prendre $F$ fermé pour pouvoir appliquer le théorème du point fixe.
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