Agreg interne méthode de Newton
Bonjour à tous,
je travaille sur la méthode de Newton. Il est proposé en développement dans le Ketrane Elineau (p 253).
Dans la 1ère partie, on montre que la valeur absolue de la dérivée d'une fonction phi est majorée strictement par 1 sur un voisinage.
Il en est alors déduit, par l'inégalité des accroissements finis, que phi est contractante sur ce voisinage.
Cela ne me paraît pas correct.
Qu'en pensez-vous ?
Merci par avance pour votre retour
je travaille sur la méthode de Newton. Il est proposé en développement dans le Ketrane Elineau (p 253).
Dans la 1ère partie, on montre que la valeur absolue de la dérivée d'une fonction phi est majorée strictement par 1 sur un voisinage.
Il en est alors déduit, par l'inégalité des accroissements finis, que phi est contractante sur ce voisinage.
Cela ne me paraît pas correct.
Qu'en pensez-vous ?
Merci par avance pour votre retour
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Réponses
Donc peut-être que $\phi$ n'est pas contractante sur ce voisinage, mais $\phi$ est bien contractante sur un voisinage.
Je pense effectivement qu'en toute rigueur, il y a une petite coquille dans la démo
si je peux me permettre une autre question sur une potentielle autre coquille :
dans le Rombaldi un exercice sur les matrices symétriques et anti-symétriques réélles, dans une démonstration, il est utilisé que leur produit est anti-symétrique et je ne vois pas pourquoi (référence soit Algèbre et géométrie exercice 15.12 p 494 ou exercices oral2 agrégation interne exercice 13.3 p 170)
a priori cela serait vrai ssi les deux matrices commutent ... non ?
Peut-être que les matrices considérées s'écrivent comme des polynômes en une même matrice A, ou bien qu'elles sont issues d'un ensemble de matrices qui commutent deux à deux.
j'ai préféré choisir 0.9 que 1.
phi'(alfa) = 0 en étant continue, donc il existe un voisinage sur lequel phi'(x) < 0.9
et là, ça marche.
Sinon, 1 serait suffisant pour utiliser le théorème du point fixe sur un compact, mais pas sur un espace complet, je pense.
Sinon, pour $S$ symétrique et $A$ antisymétrique, alors, en notant $M = AS+SA$, celle-ci vérifie ${}^t M = {}^tS{}^tA+{}^tA{}^tS = - SA - AS = -M$. (Ainsi $M$ est antisymétrique. La matrice $N=AS - SA$ est symétrique.)
Donc en effet, $tr(M) = tr({}^t M) = - tr(M) (=0)$, puis par propriété de commutation de la trace : $tr(M) = 2 \times tr(AS) (= 0)$.
\begin{align*}
Tr(AB)&=\underset{i}{\sum }(AB)_{ii}=\underset{i}{\sum }\underset{k}{\sum }
(A)_{ik}(B)_{ki}=\underset{i}{\sum }\underset{k}{\sum }(A)_{ki}(-(B)_{ik}) \\
&=-\underset{i}{\sum }\underset{k}{\sum }(B)_{ik}(A)_{ki}=-\underset{i}{\sum }(BA)_{ii}=-Tr(BA)\\
&=-Tr(AB).
\end{align*} Bonne journée.
Fr. Ch.
[À ton service. :-) AD]
Rien à voir avec la méthode de Newton mais dans le livre Ketrane Elineau dans le développement "image de l'exponentielle", pour prouver que l'exponentielle réalise une bijection entre les matrices nilpotentes et les matrices unipotentes, on utilise un développement en série entière de $\ln(I_n+N)$ quelle que soit la matrice $N$. Il ne manque pas une condition sur la norme de cette matrice $N$ ? Ne doit-elle pas être inférieure à 1 ?
Merci.
On s'éloigne un peu du sujet de départ mais j'ai une question toujours concernant le livre de Ketrane, concernant le développement 14.
En fait je ne sais pas trop s'il y a une erreur où si c'est moi qui loupe un truc.
On essaye de montrer que si toutes les valeurs propres de A ont une partie réelle inférieur ou égale à 0 alors, les solutions de X'=AX sont bornées sur IR+.
On se réfère à un travail fait dans la question précédente mais dans laquelle on avait à priori des valeurs propres dont la partie réelle était strictement inférieure à 0.
Du coup, quid du cas où il existe une valeur propre dont la partie réelle vaut 0 ?
Merci d'avance !
je bosse aussi la méthode de Newton dans le Ketrane.
Pour la démo 2)a), je ne vois pas bien pourquoi le fait que x 0 appartient à l'intervalle ]alpha, b[ montre que la suite est bien définie. C'est le voisinage ?
Que faut-il pour qu'elle soir bien définie en fait ?
Merci.
Or on montre que [alpha, b] est stable par phi et que x(0) est dans cet intervalle. Donc x(1) = phi(x(0)) l'est aussi, et par récurrence, pour tout n, x(n) est dans [alpha,b] et permet de définir x(n+1) à son tour.
Par contre, je ne me vois pas encore faire un tel développement si je suis admissible.
Il va me falloir le bosser et rebosser encore et encore...
L'avantage c'est que ça prépare à l'écrit en même temps !
Si tu as bossé (ou va bosser sur le D14) et que tu sais répondre à la question que j'ai posée plus haut, je suis preneur aussi
Ou si qq'un d'autre la voit, 3 ou 4 messages plus haut et concernant une CNS pour que les solutions de X' = AX soient bornées.
Mais pourquoi pas, dans la semaine
[large]K[/large]etrane, méthode de [large]N[/large]ewton
Phi est contractante sur un voisinage F donc ce voisinage F est stable par Phi ... cela me laisse perplexe ayant un contre-exemple qui, me semble-t-il, contredit cette affirmation
et donc je ne vois pas comment on peut finir la démo et conclure que xn est bien définie avec xn+1=phi(xn).
[Les noms propres prennent toujours une majuscule. AD]
Si je pose $X(t)=\begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix}$, on a $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$
Romanesco écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1945806,1953460#msg-1953460
Le fait que F est stable par Phi vient du fait que tu le choisis comme étant un intervalle ouvert centré en alpha (ce qu'on peut toujours faire).
Mais ça ne marcherait pas forcément si F n'était pas centré en alpha ??
Cordialement.
NB : Avant de poser une question, il est possible d'y réfléchir soi-même.
Je reformule ma remarque : ça ne marcherait pas forcement pour tout voisinage de alpha. Je joins un contre exemple qui me semble correct.
Comment faites-vous pour que le pdf apparaisse dans le post ?
[Les pdf ne s'affichent pas, mais une copie d'écran (png ou jpg) oui. AD]
tu as raison; un voisinage, ça peut contenir des tas de choses !! Même "un ouvert", ça ne marche pas. Et pour un intervalle ouvert contenant $\alpha$, ça peut ne pas marcher.
Cordialement.
Il faut choisir un bon candidat pour l'ouvert F !
C'est un classique et je pense que le candidat qui présente ce développement le jours de l'oral sans l'avoir bien préparé peut se faire coincer par le jury facilement notamment sur la question que tu te posais !
(J'ai eu le même soucis de compréhension que toi il y a quelques années quand je préparais l'agrégation interne ! Il m'a fallu plusieurs heures de recherches pour comprendre ! Maintenant je ne l'oublierai jamais.)
Bonne préparation !
Préparant ce développement, et me rappelant la fourberie du sujet, je refais un saut sur ce topic
En fait, je vois bien le problème mis en avant par ajuma... Ce n'est pas parce que phi est contractante que tous les voisinages de alpha seront stables par phi.
Mais je ne comprends pas bien finalement ce qu'il faut répondre !
Il faut dire quelque chose du genre "Phi étant contractante sur F, il existe un voisinage H de alpha stable par Phi" c'est bien ça ?
D'avance merci pour vos éclaircissements !
Merci
Et dans la démonstration qui est publiée ici, on parle d'existence d'un ouvert F! Il suffit de le choisir judicieusement pour que les choses se passent bien!
Ensuite le 0.9 on s'en fiche...
Donc il suffit de dire : "phi est contractante sur F, donc il existe dans F un voisinage de alpha stable par phi"
Mais ce n'est pas forcément F tout entier, c'est bien ça ?
Il existe un voisinage F (que tu choisis centré en alpha) dans lequel phi est contractante ce qui implique que F est stable par phi.
Je rajoute ça à ma besace !
Je ne pense pas, de mon point de vu il faut bien construire ton voisinage F pour que ça marche.
Le contre exemple d'Ajuma soulève une question théorique interessante mais dans la pratique sa suite de premier terme 10 converge vers 4 sans se poser la question de savoir si le F choisit est stable...
Ce qu'il faut retenir du topic c'est: ne pas écrire F mais expliciter ce voisinage sous la forme d'un intervalle centré en alpha (comme l'a fait Wronskien dans sa démonstration).
C'est dans cette forme qu'il apparaît quand tu démontre son existence par la continuité de phi' et c'est comme ça que tu l'utilises pour montrer que le caractère contractant de phi implique la stabilité de ce voisinage par phi.
Cordialement.
Ensuite, pour revenir sur le sujet principal, je ne dirais pas qu'on s'en fiche du 0,9. C'est une rédaction alternative à ce qu'avait proposé marsup en tout debut de post, mais quoi qu'il arrive, il me semble qu'il faut savoir justifier pourquoi la majoration stricte de la dérivée de phi par 1 implique que phi soit contractante, ce qui est peut-être aussi un détail sur lequel le jury peut fouiller un peu.
Il me semble que $F$ est un voisinage inclus dans un voisinage $V$ sur le quel $f$ ne s'annule pas. Je pense que ça a son importance.
Essentiellement, c'est le point faible de la methode de Newton: il faut connaître la position "relativement" précise des zéros pour pouvoir appliquer l'algorithme.