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Bissectrice et angles adjacents

Envoyé par JérOnimo 
Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Bonjour,

Je donnais comme définition d'une bissectrice d'un angle jusqu'alors :
Demi-droite d'origine le sommet de cet angle qui le partage en deux angles de même mesure.

Je regarde un peu ce qui se fait en 6ème avec les livre récent, et je découvre qu'il précise : demi-droite d'origine le sommet de cet angle qui partage cet angle en deux angles ADJACENTS de même mesure.
Est-il utile de préciser que ces deux angles sont adjacents ?
Existe-t-il une situation ou les deux angles ne sont pas adjacents ?

Merci pour vos réponses
JérO.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Bonjour ,

"Adjacent" ne me semble pas nécessaire mais on peut considérer que cela fait travailler le vocabulaire en donnant un exemple précis .

Cordialement
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Quant à moi, cela m'agace encore que l'on ne désigne pas une droite mais une demi-droite par le mot bissectrice.
Certes, les côtes des angles sont des demi-droites. Mais c'est plus commode de lier la bissectrice d'un angle à la notion d'axe de symétrie.

En effet le mot adjacent n'est pas obligatoire semble-t-il.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Merci pour vos réponses.

Désolé Dom :(
Je n'avais pas vu ca comme ça pour ma part, ton argument se tient aussi.
Tu crois que l'on parle de "demi-droite" pour une bissectrice car les côtés de l'angle sont des demi-droites ?
Pour le coup, je ne m'étais pasp psé la question...
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Ce n'est pas toi JérOnimo, ce sont les bouquins (au moins winking smiley).
Oui, c'est le contexte "angle" qui fait parler davantage de demi-droite que de droite.
Je ne vois que cela comme raison légitime (ou alors ce qui suit***).
L'embêtant est, par exemple, quand on parle "des droites remarquables" (5ème, 4ème ?) du triangle.

***Au passage c'est sûrement parce que, ce que l'on appelle "angle" en 6ème désigne plutôt un "secteur angulaire" et que dans ce cas l'objet qui le "découpe" est une demi-droite. Et pour "découper" le secteur angulaire rentrant, c'est « l'autre » demi-droite.

D'ailleurs pour les collégiens (même en 3ème, voire les lycéens), est-ce qu'un angle est un ensemble de points à leurs yeux ?
L'une des parties du plan délimitée par les demi-droites.
Je suis certain que ce serait plus clair pour eux car quand on ne parle que des côtes, on confond alors l'angle saillant et l'angle rentrant (à moins d'orienter le plan hum hum).

Bon, en soi, ce n'est pas vraiment important.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
D'ailleurs, puisque tu évoques cela, peut-on parler d'angles rentrant en conservant l'écriture chapeau "non renversé" comme pour les angles saillants ?
Ou faut-il absolument le renverser ?
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Sauf pour l'angle plat où il persiste une ambiguïté, je pense qu'il faut bien utiliser les deux chapeaux pour désigner le saillant ou le rentrant à l'aide des côtes de l'angle.

Il est pénible pour les élèves de ne pas parvenir à ne représenter qu'un seul angle : on en a forcément deux.
Il suffit ensuite d'ajouter une marque (petit arc joignant les deux côtés de centre le sommet) pour parler d'un angle précis sans le nommer.
L'angle marqué en rouge est-il saillant ?

En résumé :
- à l'écrit : le chapeau permet de distinguer saillant ou rentrant à l'écrit
- à l'oral : il est conseillée de dire à chaque fois "saillant" ou "rentrant" mais on peut aussi dire "dans tout l'exercice je ne parlerai que des angles saillants" (je conçois que cette phrase passe inaperçu aux yeux de -presque- tous).
- sur une figure : les marques (colorées) sont utiles.

J'espère être clair.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Tout est clair.
Je t'embête encore un peu.
Dans le chapitre des angles, les inégalités sont peu claires (larges, strictes).
Ainsi, un angle droit est-il aigu ? obtus ? les deux ? aucun ?
Pareil pour un angle plat (saillant ? rentrant ? aucun ? les deux ?), un angle plein (rentrant ?).
Dans les définitions, on lit : "entre" : cela a-t-il un sens large ou stricte ?

Merci encore.
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Je pense qu'on peut les considérer comme larges ou strictes.
J'ai mes préférences...je me lance :

Les saillants :
Nul
Aigu : la mesure est dans [0;90[ (j'exclurais 90)
Droit
Obtus : la mesure est dans ]90;180]
Plat

Les rentrants :
Les mesures sont dans ]180;360] (c'est discutable d'exclure 180).
Plein


Attention, je ne connaîs pas les véritables définitions, s'il y en a...


Petite remarque pour s'amuser :
On ne devrait pas dire "le droit est la moitié d'un plat" mais "le plat est le double d'un droit".
Penser à un angle de mesure 270º.
Faire l'analogie avec : on a toujours qu'un seul carré, mais on peut avoir deux "racines".
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Merci pour tes réponses Dom, et ta gentillesse.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Pourrais-tu m'en dire un peu plus sur ta remarque stp ?
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
avatar
Personnellement, je préfère que les intervalles soient fermés, tout comme on n’interdit plus à un carré d’être un rectangle.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
C'est inutile d'en parler au collège.
Je t'épargne un cours (digne de ce nom ou presque, ne soyons pas trop prétentieux) sur les angles.

C'est le "modulo 360" qui peut aider à comprendre cela.
On choisit une mesure $\alpha$ dans [0;360[
On a qu'un seul double dans [0;360[.
Par contre on peut trouver deux "moitiés" dans [0;360[.

Exemple :
si $\alpha$ = 100, alors 2$\alpha$ = 200.
si 2$\alpha$ = 100, alors $\alpha$ = 50 ou $\alpha$ = 230 (on a 180 de différence)

Un de mes profs de lycée disait : « C'est à pi près ça. »

Une autre manière de comprendre un peu mieux est le passage aux complexes :
On a l'égalité pour tout complexe $z$ non nul : $arg(z^2)=2arg(z)$ cela $[2\pi]$
Le double correspond au carré, mais pour "faire l'inverse" il faut considérer la racine carrée, il y en a deux en général.

Pour l'angle plat : il a une "moitié", l'angle droit, mais on peut remarquer que « l'angle » mesurant 270° à bien un double identifiable à l'angle plat.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Dom.
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Oui @nicolas.patrois, en fait ce que tu préconises est plus sain.
L'angle droit est à la fois aigu et obtus.
L'angle plat est à la fois saillant et rentrant.
Ce n'est pas grave d'avoir ces coïncidences.
C'est bien plus simple et ce qui compte est que les élèves sachent s'y retrouver.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Je trouve cela complexe Dom, non ?
Où est-ce mon cerveau qui n'est pas encore activé ^^

@ nicolas Patrois : tu mets des égalités larges partout ?
Le problème, c'est que NUL PART on ne donne de précision : ainsi, chacun interpréte cela comme il veut...
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Oui oui, laisse tomber cette histoire liée à ma remarque.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
avatar
Je ne suis plus en collège, donc vous m’écoutez si vous voulez. grinning smiley

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
avatar
A méditer :
Lieu des points équidistants des demi-droites $a$ et $b$ (en vert)


Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Le triangle fait partie des solutions, Soland ?
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Le secteur de plan tout entier en fait partie : les distances aux demi-droites sont les distances à leur point commun.

Cordialement.
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
En effet, si on cherche une caractérisation par les distances (analogie avec la médiatrice d'un segment), on comprend qu'il vaut mieux parler de demi-droite pour la bissectrice d'un angle.
(De mémoire, c'est en 4ème qu'on fait cette caractérisation).

En 6eme, cependant, il me semble qu'un lien avec la symétrie axiale doit être etabli : l'axe de symétrie de l'angle est (le support de) la bissectrice. On pourra préférer l'objet "droite" (pour se passer du mot "support" qui, il est vrai, ne serait pas non plus insurmontable au collège). Autre analogie avec la médiatrice d'un segment (même si le segment possède deux axes de symétrie, notamment son propre support, encore ce mot).

La définition de "partage en deux angles adjacents" est plus ambigüe au fait que l'on choisisse une droite ou une demi-droite, comme la notion d'angle d'ailleurs plutôt piochée dans les secteurs angulaires.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
avatar
@JérOnimo Oui.
@gerard0 Oui.
@Dom Je dirais : La bissectrice des demi-droites Oa et Ob est l'axe de la symétrie qui échange Oa et Ob (sans restriction).

De manière générale la confusion entre "angle" et "mesure de l'angle" est pernicieuse.
Un angle est un triple ordonné de points. (AOB) et (BOA) sont deux angles distincts de même mesure.

A deux demi-droites Oa et Ob de même sommet on associe de nombreux angles en choisissant A sur Oa (distinct de O) et B sur Ob.
Les angles obtenus ont tous la même mesure :
$$
\arccos\left( \frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB} \right)
$$
Cf. Berger, Lang et al.

Joli exercice (pas en 5e...) Montrer que si O, A et A' sont alignés dans cet ordre et si B est un autre point, les angles AOB et A'OB ont la même mesure.
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Cela fait des siècles que j'ai envie de rédiger un papier sur "les angles" qui comprendrait toutes (disons les angles dans le plan euclidien) les notions d'angles. On trouve ce genre de choses dans des bouquins ou sur Internet mais il manque souvent une de ces notions (notamment "secteur angulaire", mais "pas que"). Peut-être un jour, avec le concours des géomètres du forum dont @soland faut partie winking smiley.

En effet tout est fait pour confondre angle et mesure d'angle, tout !
On insiste dans les programmes de collèges pour distinguer [AB] et AB, mais alors les "angles" ...

D'ailleurs ça me fait penser (je l'ai déjà dit quelque part) à la distinction cercle/disque, sphère/boule mais carré ? Rien.

Une dernière remarque puisqu'on parle de 6ème.
Si cela s'y prête, c'est-à-dire qu'on pense que cela ne va pas embrouiller les élèves, on peut faire conjecturer que des droites sont perpendiculaires ou non avec un compas.
Tracer un cercle de centre le point d'intersection des droites sécantes, et chercher à l'œil nu si les quatre parts semblent " égales " "superposables" ou non.
Le lien avec le sujet, est de parler d'angle droit.
Évidemment insister quand même sur le fait que l'on a rien démontré. Il faut prendre des gants.
L'intérêt est de lier, sans le formaliser, angle et cercle.
Je dis cela car beaucoup d'élèves (et même au lycée) qualifient de perpendiculaires, à l'œil nu, des droites clairement non perpendiculaires. Et, le comble, après utilisation de l'équerre, ils s'exclament "ha ben non, elles ne le sont pas".
Après avoir dit que l'on ne peut ni démontrer qu'elles le sont ou qu'elles ne le sont pas avec l'instrument, il est intéressant de constater qu'à l'œil nu, la notion d'angle droit est mal passée. Alors qu'avec les quatre parts "sont-elles égales ou pas ?", je suis certain qu'on arrive, un jour, à les faire constater à l'œil nu qu'elles semblent l'être ou non.
Cette dernière remarque est très longue et j'espère avoir été clair sur le procédé (qui est à prendre avec des pincettes selon le profil de la classe).
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Soland,
Citation

Un angle est un triple ordonné de points. (AOB) et (BOA) sont deux angles distincts de même mesure.
Non. Si O,A et A' sont alignés dans cet ordre, AOB et A'OB définissent le même angle, mais ne sont pas le même "triple".
D'autre part, on définit des angles géométriques, pour lesquels AOB et BOA sont le même angle, et d'autres sortes d'angles.

On apprenait tout ça au lycée autrefois ...

Cordialement.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
D'ailleurs, comment selon vous se définit un angle au collège ?
Est définit par deux droites de même origine / est le secteur angulaire formé de deux droites de même origine ?
Laquelle est plus parlante pour les élèves ? Je ne sais pas.
Votre avis là-dessus.

@Soland :
Je ne comprends pas pourquoi le triangle est solution... Je ne crois pas avoir déjà vu cela.
Faut que je poursuive mes recherches.
Il n'est jamais trop tard pour en apprendre...
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Bonsoir,

Ce n'est pas un triangle, c'est un secteur angulaire qui va à l'infini.
Et la distance d'un point à une demi-droite n'est pas la même chose que la distance d'un point à une droite.

Cordialement,

Rescassol
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Intuitivement : tu piques ton compas dans la zone bleue avec une longueur nulle. Puis tu dois agrandir la longueur jusqu'à toucher la demi-droite "a". Tu t'aperçois que tu touches aussi la demi droite "b".
Dans cette zone triangulaire (c'est plutôt un secteur angulaire) le point obtenu est l'origine de la demi-droite.

Attention : mes tournures de phrases et le vocabulaire ne sont pas adaptés.
Rien n'est mathématique dans ce que je viens de dire.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Merci pour vos réponses.
Je comprends un peu mieux.

Concernant la définition d'un angle, laquelle vous semble la plus appropriée pour enseigner au collège ?
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
C'est difficile de répondre...

Introduction :
1) Je pense qu'il faut faire sentir que deux demi-droites de même origine peuvent être "resserrées" ou "écartées.
Éviter dans un premier temps les mots "grand" ou "petit". Faire remarquer que ces mots n'ont pas de sens car la figure n'est pas bornée.
Je n'aime pas trop l'ultra vulgarisation mais je crois que sur le site matoumatheux, ils font l'analogie avec le fait de plier le genou. Le mieux serait d'utiliser un éventail que l'on puisse bien replier sur lui-même (angle nul) et que l'on puisse (au moins) ouvrir jusqu'à l'angle plat.

2) Quand on trace deux demi-droites de même origine, le plan est alors partagé en exactement deux parties (sans compter les demi-droites). Placer plusieurs points dans chacune des parties. On peut alors ranger les points en deux catégories.
Cela fait apparaître deux angles possibles sur la figure.
Pour les distinguer, on marque les angles (petit arc de cercle réalisé à main levée).
Remarque : on ne peut pas représenter qu'un seul angle (il y a toujours l'autre...).

3) Un angle est une de ces parties. Cela ne me dérangerait pas de dire à des sixièmes qu'un angle est un ensemble de points. C'est là où c'est délicat, car cela est plutôt la notion de secteur angulaire. Les programmes sont sûrement encore assez flous à ce sujet.
Et l'élève a qui on aura dit cela aura envie, un jour, s'il est pertinent de dire : le point M appartient à l'angle AOB (par exemple).
C'est assez pénible de lire "un point appartient à un angle".

On trouve parfois comme définition : un angle est constitué de deux demi-droites de même origine.
Mais ce ça ne dit pas ce qu'est un angle.
On peut écrire cela dans un cahier mais je pense qu'il ne faut pas lui donner le statut de définition.

4) Enfin, la notion de mesure peut arriver, même assez tardivement.
On essaye d'associer un nombre selon le caractère "replier" d'un angle.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Dom,

1) Quelle différence précise y a-t-il entre angle et secteur angulaire ?

2) Je ne comprends pas bien :
Citation
Dom
Et l'élève a qui on aura dit cela aura envie, un jour, s'il est pertinent de dire : le point M appartient à l'angle AOB (par exemple).
C'est assez pénible de lire "un point appartient à un angle".
Tu pourrais m'en dire un peu plus stp ?

Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
1)
D'après moi, un secteur angulaire est un lieu. Un ensemble de points défini par deux demi-droites de même origine.
Un angle (du collège) est une classe d'équivalence sur l'ensemble des secteurs angulaires.
Deux angles sont dans la même classe si les secteurs angulaires sont superposables (plus rigoureusement s'il existe une isométrie qui transforme l'un en l'autre).
Par contre je crois qu'il y a un conflit de définition : parfois "angle géométrique" est synonyme de "secteur angulaire" et parfois "angle géométrique" désigne plutôt la classe d'équivalence d'un secteur angulaire.
Edit : j'ai déjà vu ce conflit quelque part mais c'est tout de même plus répandu de lire que "angle géométrique" est la classe d'équivalence.

2)
C'est l'ambiguite de la nature de l'objet "angle".
a) Si l'angle est le secteur angulaire, alors un angle est vraiment une figure comme un carré...
On a le droit de dire "ce point là appartient au secteur angulaire", "çe point là n'est pas sur le secteur angulaire".

b) Si l'angle est la classe d'équivalence, alors l'angle est l'ensemble de tous les secteurs angulaires superposables (tous isométriques), on dit "la classe des secteurs angulaires".
La question d'appartenance d'un point à l'angle n'a aucun sens : un point ne peut pas appartenir à un ensemble de figures.


Analogie avec les carrés, par exemple :
a) Carré désigne une figure bien précise : celui qui s'appelle ABCD sur la feuille n'est pas le même que celui qui s'appelle EFGH même si les dimensions de côtes sont égales. On a bien deux figures distinctes.

b) Carré désigne un ensemble de carré : par exemple dans la phrase "vous avez tous dessiné le même carré". En fait tous les carrés sont différents (puisqu'ils sont tracés à des endroits différents) mais l'expression "le même carré" signifie "vous avez tous tracé des carrés isométriques". Tous les carrés dessinés, s'ils ont la même dimension sont dans la même "classe".

J'espère que c'est plus clair...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Dom.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Parfait, du coup: dire que deux objets sont les mêmes est ambigüs du fait que le lieu du tracé n'est pas le même (exemple : sur deux feuilles différentes), mais ils ont les mêmes dimensions (ils sont isométriques, ils sont dans la même classe).
Finalement, un objet n'est égal à un autre que s'il est isométrique et qu'il est situé dans un même endroit ?

Autres questions: tu parlais d'ensemble de points précédemment.
cette expression apparait au collège avec le cercle ou la médiatrice.
Prenons le cas de la médiatrice: "ensemble de points situés à égale distance des extrémités d'un segment".
P1 : Si un point appartient à la médiatrice, alors il est équidistant des extrémités de ce segment".
P2: Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, alors il appartient à sa médiatrice".
Et : P1 <=> P2

Pourquoi peut-on parler d'ensemble de points ?
Car on a P1 ? Car on a P2 ? Ou car P1 <=> P2 ?

Je me pose soudainement cette question car je travaille en ce moment sur la préparation d'un cours sur le cercle (dont je donne la définition avec l'expression "ensemble de points") et je me demande si cela induit implicitement la caractérisation "Point appartient sur le cercle <=> Distance de ce point au centre est égale au rayon du cercle" ou non...
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
En géométrie, au lieu de dire que deux objets sont "égaux" on dit que les deux objets sont "confondus".
Dire que deux objets sont "les mêmes" sous-entend souvent une histoire d'isométrie entre les deux.
Parfois, une histoire de similitude entre les deux.
Ce n'est pas défini explicitement.

Par définition, la médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire au segment. C'est bien un ensemble de points, une droite.

Propiété (qui s'énonce en deux fois au collège) : La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.

Pour le cercle, c'est en effet la définition et non une nouvelle propriété.
On a le droit de dire que la définition est une caractérisation, mais c'est pompeux.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
JérOnimo,

lorsqu'un ensemble E est défini par une propriété de ses éléments, pris parmi les éléments de F, les éléments de E sont par définition les éléments de F qui ont la propriété. Pourquoi s'interroger ?

Je trouve que tu es en train de sodomiser des diptères. Peut-être pour méconnaître les définitions des angles : Ce sont tous des classes d'équivalence de couples (de droites, de demi-droites, de vecteurs) pour une certaine relation. Ce qui fait d'ailleurs qu'il y a différentes sortes d'angles. Pour le collège, ce sont les angles géométriques qui sont des classes d'équivalence de demoi-droites de même origine, pour la relation "être l'un l'image de l'autre par une isométrie".
Il fut un temps où on définissait ainsi les angles, maintenant "c'est trop compliqué pour eux", mais rien n'interdit de dire que deux demi-droites de même origine définissent un angle et de commenter à quelles condition deux demi-droites définissent le même angle (symétries, rotation, translation), en remarquant que finalement, cela revient à dire qu'ils sont mesurés de la même façon par le rapporteur.
Dans ce cadre, il n'y a pas (comme à mon époque où la confusion règnait en cinquième) d'angles saillants et d'angles rentrant, mais des secteurs angulaire saillants ou rentrant (saillants = convexes), mais on s'autorisera de dépasser 180° dans les mesures de sommes d'angles adjacents, avant de revenir à la mesure entre 0 et 180°.

Il faut noter que si la mesure est autre chose que l'angle, pour les angles géométriques, il y a une bijection entre les angles et les mesures entre 0 et 180° : Deux angles géométriques de même mesure sont égaux.

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par gerard0.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Merci pour vos éclaircissements.

Jai compris la différence entre la médiatrice d'un segment et le cercle : la défintion de la médiatrice d'un segment est définie par une droite.
Puis la caractérisation (équivalence des deux propriétés évoquées ci-dessus) permet de parler d'ensemble de points ?
En revanche, pour le cercle, c'est la définition (qui peut être assimilé à une propriété équivalente - "défnition qui est une caractérisation", pour reprendre les propos de Dom) qui permet de parler d'ensemble de points.

Je détaille un peu plus ma question sur les ensembles de points : "est-ce une inclusion d'ensemble" (et donc une implication pour les propriétés) ou une égalité (une équivalence) ?
Je souhaitais savoir :
P1 : Si un point appartient à la médiatrice, alors il est équidistant des extrémités de ce segment".
P2: Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, alors il appartient à sa médiatrice".
Est-ce le fait que P1 est EQUIVALENTE à P2 qui permet d'écrire que la médiatrice d'un segment est l'ENSEMBLE DES POINTS équidistants des extrémités du segment ?
Si on n'avait que P1 de vraie, et pas P2, pourrions nous encore dire que : "la médiatrice d'un segment est l'ENSEMBLE DES POINTS équidistants des extrémités du segment" ?
J'espère avoir été plus clair.
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
La médiatrice d'un segment est définie par un ensemble de points, je l'appelle M.

Un autre ensemble de points relatif à un segment est l'ensemble des points équidistants de ses extrémités, je l'appelle E.

Grâce à la propiété de caractérisation, on en déduit que M = E (en effet, chaque ensemble est inclus dans l'autre).

Si on n'avait que P1, on aurait alors seulement M inclus dans E.
Si on n'avait que P2, on aurait l'autre inclusion.

Tout cela fait le lien avec le cas de la bissectrice et la question "droite ou demi-droite ?".
Selon qu'on désir caractériser avec les distances aux côtés de l'angle, l'outil "demi-droite" permet d'avoir l'égalité des ensembles de points.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Dom.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
C'est bien ce que je pensais.
L'équivalence entre propriétés induit l'expression ensemble de points dans la caractérisation.
Merci beaucoup Dom pur toutes tes réponses depuis le début du fil.
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
En fait, c'est plutôt la manière de décrire un ensemble qui induit ou non l'expression "ensemble de points".

Pour les descriptions par des distances, c'est souvent ce qu'on utilise.

Exemples :
- définition du cercle, du disque, de la sphère, de la boule
- caractérisation de la médiatrice d'un segment
(La définition ne parle pas d'ensemble de points mais elle parle bien de "la droite qui passe par le milieu ..." , qui est tout de même un ensemble de points.
- définitions des coniques (d'un point de vu focal)
- plus généralement pour les courbes de fonctions (resp. parametrées)

Ce n'est pas tellement les propriétés qui induisent la locution "ensemble de points" mais ce qu'elles disent.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
C'est justement ça, je pense, qui me pose un petit problème, c'est que j'avais tendance à penser que c'était dû aux propriétés que l'on avait cette idée d'ensemble de points.
Et mon problème vient peut-être du fait que j'ai appris très tardivement cette expression, et que j'ai dû mal à me l'approprier et à en donner du sens...
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
JerOnimo,

c'est quand même une notion de base : En maths, on peut tout ramener à des ensembles et aux relations ensemblistes (appartenance, inclusion, égalité). Même les applications et relations. En géométrie, comme les éléments de base sont des points, on travaille essentiellement avec des ensembles de points (le plan, l'espace, les droites, les plans, les segments, les figures) et des relations entre ces éléments (appartenance, concours, parallélisme, perpendicularité).
C'est bizarre que tu n'aies découvert que récemment qu'une droite est un ensemble de points. Tu en as manipulé depuis des années.

Cordialement.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Je comprends ta surprise : je fais les mêmes constatations avec les élèves.
Je pense que le niveau baisse tellement qu'on ne veut pas (nous / les) surcharger de notions ; ce qui fait que si on ne te le dit pas à un temps t, tu l'apprends bien plus tard.
Je ne dis pas que je ne savais pas qu'une droite était un ensemble de points : ça, je le savais.
Je n'avais juste pas fait le lien entre cette information et le fait qu'une médiatrice peut être vue comme l'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment.
Comme je le disais au préalable, je ne sais pas si le fait qu'on l'appelle ainsi est une conséquence d'une propriété (P1 ou P2 citée au-dessus) ou de l'équivalence entre elles (P1 <=> P2).
Voilà ce qui me génait.
Mais si j'ai bien compris les explications de Dom, le fait que P1 <=> P2 permet de parler d'ensemble de points (c'est normal, une médiatrice est une droite), mais ces points sont tous équidistants des extrémités d'un segment.
J'aurais plutôt dit que : comme Si un point appartient à la médiatrice, alors il est équidistant des extrémités d'un segment, cela suffisait à dire que c'est l'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment.
Mais il semblerait que P2 soit également importante ici.
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Je détaille pour la bissectrice :(et je fais exprès de choisir l'outil "droite")

Définition : la bissectrice d'un angle est la droite qui passe par le sommet de l'angle et qui le partage en deux angles de même mesure.

Propriété (B1) : si un point appartient à la bissectrice d'un ange, alors il est équidistant des côtes de l'angle.

Propriété (B2) : si un point est équidistant des côtes d'un angle, alors il appartient à la bissectrice de l'angle.

J'utilise la figure apportée par Soland pour dire que B1 est vraie et que B2 est fausse.
Même si on n'a pas l'équivalence, on a parlé d'ensembles de points.

On a : l'ensemble des points de la bissectrice d'une angle est inclus dans l'ensemble des points équidistants des côtes de l'angle. Et l'inclusion est stricte.

Remarque : si on choisit plutôt l'outil "demi-droite" pour définir la bissectrice d'un angle, alors on obtient l'équivalence entre les deux propriétés. En effet, le secteur angulaire ("en haut" sur la figure de Soland) n'existe plus et on a bien l'égalité des ensembles.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Toujours aussi compliqué (pinailleur ?), JérOnimo :
"Je n'avais juste pas fait le lien entre cette information et le fait qu'une médiatrice peut être vue comme l'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment.
Comme je le disais au préalable, je ne sais pas si le fait qu'on l'appelle ainsi est une conséquence d'une propriété (P1 ou P2 citée au-dessus) ou de l'équivalence entre elles (P1 <=> P2). "

Que la médiatrice soit définie comme une droite, ou comme l'ensemble des points équistants des extrêmités, c'est un ensemble de points. Donc rien à voir avec une quelconque équivalence. Dans mon jeune temps, on m'a défini la médiatrice comme l'ensemble des points équistants des extrêmités, puis on m'a démontré que c'était la perpendiculaire au segment passant par son milieu (le segment n'était évidemment pas réduit à un point.
L'essentiel pour les collégiens est bien sûr qu'ils sachent passer d'une formulation à l'autre.

Cordialement.
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
@gerard0
Merde alors, je n'aurais jamais cru qu'on enseignait dans "l'autre sens" la médiatrice.
Pour d'autres notions, cela ne m'étonne pas vraiment, mais ça m'interpelle pour cette médiatrice.
Mais il est vrai que le point de vue "symétrie axiale" encourage à parler de distance.
On en apprend tous les jours.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Pourtant Dom,

c'est assez logique .... Pourquoi considérer une permendiculaire particulière ? D'ailleurs chez Euclide, c'est le moyen de construire les triangles isocèles.

Cordialement.
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années

Oui, c'est vrai.
Du coup pour la bissectrice, qu'as tu reçu comme "formatage" ?
J'écris en petit car c'est une discussion dans le fil (qui a quand même un rapport avec celui-ci).
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
La bissectrice était une demi droite, qui partage l'angle en 2 (angle saillant ou angle rentrant). Mais on voyait surtout les bissectrices d'un triangle(au nombre de 6, qui sont des droites). Puis au lycée, les bissectrices d'un angle dépendaient de la notion d'angle.

Cordialement.
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
D'accord.
Donc, Dom, pour le cas où la bissectrice est une demi-droite, peut-on dire que la bissectrice d'une angle est inclus dans l'ensemble des points équidistants des côtes de l'angle ?
Je pense que non, car inclusion stricte et il manque l'inclusion réciproque, mais J'aimerais confirmation.

Donc pour revenir à la médiatrice, comme :
A : Pour tout point M du plan, M appartient à la médiatrice d'un segment [AB]
B : MA = MB
Comme :
A => B donc l'ensemble des points de la médiatrice (que j'appelle P) est inclus dans l'ensemble des points équidistants de ses extrémités (appelé Q).
Et comme B => A donc l'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment (Q) est inclus dans l'ensemble des points appartenant à la médiatrice de celle-ci (P).
Finalement, P inclus dans Q et Q inclus dans P, donne que P = Q : donc on peut dire que la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants de ses extrémités.
that's it ? :)
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Citation
JérOnimo
peut-on dire que la bissectrice d'une angle est inclus dans l'ensemble des points équidistants des côtes de l'angle ?
Je pense que non, car inclusion stricte et il manque l'inclusion réciproque
Lisz-tu vraiment ce que tu écris ? "peut-on dire que c'est inclus. je pense que non car c'est inclus !!!! A moins que pour toi, une inclusion strictre ne soit pas une inclusion ???

Pour la suite, c'est de la tétracapillectomie, et surtout tes A et B ne sont pas équivalents (dans B, M n'est pas quantifié). mais :
Soient A et B deux points distincts. Pour tout poin M du plan on a :
(M est sur la perpendiculaire à (AB) passant par le milieu de [AB]) <=>(MA=MB)
dit exactement que l'ensemble des points équidistants de A et B est la perpendiculaire en cause (*); qu'on appelle la médiatrice du segment, et qui est l'un des axes de symétrie de [AB].

Cordialement.

(*) Si $ E=\{x\in F/ P(x)\}$ et que $P\Leftrightarrow Q$, alors $\{x\in F/ Q(x)\}=E$. preuve immédiate.
Dom
Re: Bissectrice et angles adjacents
il y a cinq années
Pour les bissectrices : (la réponse est plutôt oui)
La droite bissectrice d'un angle est incluse dans l'ensemble des points du plan équidistants des côtes de l'angle.
La demi-droite bissectrice d'un angle est incluse dans l'ensemble des points du secteur angulaire (la partie du plan "entre les côtes") mais aussi du plan (c'est plus grand encore que le secteur angulaire) équidistants des côtes de l'angle.

Les réciproques :
L'ensemble des points du plan équidistants des côtes de l'angle est l'ensemble dessiné par Soland.
Il n'est pas inclus, ni dans une demi-droite, ni dans une droite.
L'ensemble des points du secteur angulaire équidistants des côtes de l'angle est inclus dans la demi-droite bissectrice de l'angle (il y a même égalité des deux ensembles).
L'ensemble des points du secteur angulaire équidistants des côtes de l'angle est inclus (strictement) dans la droite bissectrice de l'angle.


Pour la médiatrice oui c'est ça.
On utilise le terme "caractérisation" pour cela. Égalité des deux ensembles. Équivalences des définitions (celle d'antan et celle d'aujourd'hui en prenant en compte les remarques de @gerard0 sur ses apprentissages quant aux médiatrices).
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