Définitions du produit vectoriel

Place-toi dans une base orthonormée directe $(i,j,k)$ adaptée au problème, c'est-à-dire avec $i$ tel que $u = \|u\| i$ et $j$ tel que $v = \|v\| \cos(u,v) i +\|v\| \sin(u,v) j$. Calcule alors les coordonnées de $u\wedge v$ dans cette base en utilisant la définition avec le produit mixte, et vérifie que ça colle avec l'autre point de vue.

Bonjour,

Voici ma façon de voir les choses :

1) On part de la définition suivante. Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension 3. Pour tout $(u,v)$ dans $E^2$, $u\wedge v$ est l'unique vecteur de $E$ tel que $\forall x \in E, [u, v, x] = (u\wedge v) \cdot x$.

2) On montre que pour tout $(u,v)$ dans $E^2$, $(u,v)$ est lié si et seulement si $u\wedge v = 0$.

3) On en déduit que pour tout $(u,v)$ dans $E^2$, si $(u,v)$ est libre, alors $(u, v, u\wedge v)$ est une base directe de $E$.

4) On voit facilement avec 1) que $u\wedge v$ est orthogonal à $u$ et à $v$ pour tout $(u,v)$ dans $E^2$.

5) À partir de 1), on démontre les formules donnant les coordonnées du produit vectoriel dans une base orthornormale directe de $E$.

6) On en déduit (petit calcul) l'égalité de Lagrange :
\[ \forall (u,v) \in E^2, \lVert u\wedge v \rVert ^2 + (u \cdot v)^2 = \lVert u \rVert ^2 \lVert v \rVert ^2 \]
7) Sachant que $u \cdot v = \lVert u \rVert \lVert v \rVert \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle (orienté ou non) entre les vecteurs $u$ et $v$, on voit que 6) entraîne directement $\lVert u\wedge v \rVert = \lVert u \rVert \lVert v \rVert \lvert\sin(\theta) \rvert$.

Bonsoir à tous
Un petit exo standard sur le produit vectoriel dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension $n.\qquad$
Montrer l'identité:
$$\langle u_1\wedge u_2\wedge \dots \wedge u_{n-1}\vert v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_{n-1}\rangle =\mathrm{Det}(\langle u_i\vert v_j\rangle_{1\le i\le n-1;1\le j\le n-1})$$
Petit exo vicieux:
Ecrire l'identité précédente pour $n=2$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Chaurien
Ce n'est pas parce que le produit vectoriel a disparu des programmes des classes préparatoires et de l'agrégation qu'il faut céder à la mode de se voiler les yeux et de se boucher les oreilles.
Tu peux toujours te limiter aux cas $n=2$ et $n=3$ qui ne sont pas très fatigants.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Gai Requin
Tout le problème est de savoir ce que signifie le symbole $\wedge u$ et d'ailleurs pourquoi cette écriture?
Amicalement
[small]p[/small]appus[small][small][/small][/small]

Bien sûr Gai Requin
Parle moi plutôt de l'application $u\mapsto \wedge u.\qquad$
Et pourquoi cette notation $\wedge u?\qquad$
Comment aurait-on dû écrire le produit vectoriel en dimension $n?\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Gai Requin
J'aurai plutôt opté pour la notation:
$$\wedge(u_1,u_2,\dots, u_{n-1}).\qquad$$
Une brave fonction $(n-1)$-linéaire antisymétrique à valeurs dans $E$.
Et quid de l'application $u\mapsto \wedge(u)\qquad$ dans le cas $n=2$?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Gai Requin
Oui, c'est une isométrie honnête si tant est qu'il en existe de déshonnètes!
Tu l'avais d'ailleurs déjà écrit.
Mais ce n'est pas n'importe quelle honnête isométrie!!!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Voici deux exercices concernant le brave produit vectoriel en dimension 3.

$\bullet$ Soit un espace affine euclidien $E$ de dimension $3 $ muni d'un repère orthonormal, et dans cet espace soit un cube tel que les coordonnées de ses 8 sommets dans le repère sont toutes des nombres entiers. Démontrer que l'arête de ce cube est un nombre entier.

$\bullet$ Soit un espace vectoriel euclidien $E, (...|...)$ de dimension $ \ge 2$, soit une opération $(u,v) \mapsto u*v$ dans $E$ telle que, quels que soient $u, v, w$ éléments de $E$, on ait : $ u*(v*w)=(u|w)v-(u|v)w$. Démontrer que $\dim E =3$ et que : $ \forall u \in E, \forall v \in E, u*v=u \wedge v$, ou bien : $ \forall u \in E, \forall v \in E, u*v=-u \wedge v$, où $...\wedge...$ est le produit vectoriel.

Bon dimanche.
Fr. Ch.

J'ai répondu dans mon message précédent.

C'était une si mauvaise blague mon quart de tour direct ?

En prépa on avait la définition suivante.

$u$ et $v$ sont deux vecteurs de $\mathbf{R}^3$ et $ f (x) = \det (u, v, x) $. $f$ est linéaire donc, par le théoreme de Riesz, il existe un unique vecteur $w$ noté $u \wedge v$ tel que $\langle u \wedge v , x \rangle = \det (u, v, x ) $.

Mon cher Chaurien
Le fait que tu dises qu'en dimension $2$ le produit vectoriel, c'est le produit mixte prouve que tu n'as rien compris, ni au produit vectoriel ni au produit mixte!
Quant à l'utilité des objets mathématiques, elle ne regarde que ceux qui s'en servent!
Quelle est l'utilité d'une conique dans l'enseignement actuel?
La réponse va de soi!
Strictement aucune!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Si $v_1,\ldots,v_k$ sont des vecteurs d'un espace vectoriel $E$, on peut définir $v_1\wedge\cdots\wedge v_k\in\Lambda^k E$ ($k$-ième puissance extérieure de $E$). On retrouve le produit vectoriel lorsque $k=n-1$.

Les puissances extérieures d'un espace vectoriel interviennent couramment en géométrie différentielle. Par exemple si $\omega$ est une $k$-forme différentielle sur une variété $V$ alors $\omega_x$ est un élément de $\Lambda^k ((T_x V)^*)$.