Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
195 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Définitions du produit vectoriel

Envoyé par darbouka 
Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Bonjour
J'essaie de comprendre l'équivalence entre les deux définitions du produit vectoriel que je connais, à savoir : celle par le produit mixte, et celle que j'ai appris à l'époque au lycée : la base (u, v, u×v) est directe, u×v est orthogonal à u et à v, IIu×vII = IIuII.IIvII.Isin(u,v)I.
Quelqu'un peut-il me donner une idée de la manière dont on passe d'une définition à l'autre ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Place-toi dans une base orthonormée directe $(i,j,k)$ adaptée au problème, c'est-à-dire avec $i$ tel que $u = \|u\| i$ et $j$ tel que $v = \|v\| \cos(u,v) i +\|v\| \sin(u,v) j$. Calcule alors les coordonnées de $u\wedge v$ dans cette base en utilisant la définition avec le produit mixte, et vérifie que ça colle avec l'autre point de vue.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Guego.
Re: définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Bonjour à tous
En fait ces notions sont issues de la physique: calculs de moments, électromagnétisme, etc, etc...
On avait besoin de ces notions (produit mixte et vectoriel) au lycée que pour satisfaire les besoins des physiciens, un peu comme on enseignait autrefois les divisions et les faisceaux harmoniques en Seconde pour pouvoir faire de l'Optique de Gauss en Première.
En tout cas du point de vue mathématique, tout repose sur la notion d'orientation et de ce qu'on appelle base directe.
C'est une notion suffisamment difficile aujourd'hui pour qu'on ait laissé tomber définitivement la théorie des angles orientés par exemple
Bref comme l'espace possède deux orientations, on a donc deux produits mixtes et deux produits vectoriels.
Nos braves physiciens qui ne se souciaient guère de ces subtilités géométriques définissaient les repères directs au moyen du bonhomme d'Ampère empalé sur son axe et nos amis anglais qui ne font jamais rien comme nous utilisaient le tire-bouchon (de ce démon) de Maxwell.
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par pappus.
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Je viens d'essayer ta méthode, Guego, ça marche effectivement très bien. Un grand merci à toi.
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
avatar
Il y avait aussi les trois doigts.
[uel.unisciel.fr]
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

Voici ma façon de voir les choses :

1) On part de la définition suivante. Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension 3. Pour tout $(u,v)$ dans $E^2$, $u\wedge v$ est l'unique vecteur de $E$ tel que $\forall x \in E, [u, v, x] = (u\wedge v) \cdot x$.

2) On montre que pour tout $(u,v)$ dans $E^2$, $(u,v)$ est lié si et seulement si $u\wedge v = 0$.

3) On en déduit que pour tout $(u,v)$ dans $E^2$, si $(u,v)$ est libre, alors $(u, v, u\wedge v)$ est une base directe de $E$.

4) On voit facilement avec 1) que $u\wedge v$ est orthogonal à $u$ et à $v$ pour tout $(u,v)$ dans $E^2$.

5) À partir de 1), on démontre les formules donnant les coordonnées du produit vectoriel dans une base orthornormale directe de $E$.

6) On en déduit (petit calcul) l'égalité de Lagrange :
\[ \forall (u,v) \in E^2, \lVert u\wedge v \rVert ^2 + (u \cdot v)^2 = \lVert u \rVert ^2 \lVert v \rVert ^2 \]
7) Sachant que $u \cdot v = \lVert u \rVert \lVert v \rVert \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle (orienté ou non) entre les vecteurs $u$ et $v$, on voit que 6) entraîne directement $\lVert u\wedge v \rVert = \lVert u \rVert \lVert v \rVert \lvert\sin(\theta) \rvert$.
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
avatar
Et attention aux tire-bouchons :
[lamaingauche.com]
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Bonsoir à tous
Un petit exo standard sur le produit vectoriel dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension $n.\qquad$
Montrer l'identité:
$$\langle u_1\wedge u_2\wedge \dots \wedge u_{n-1}\vert v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_{n-1}\rangle =\mathrm{Det}(\langle u_i\vert v_j\rangle_{1\le i\le n-1;1\le j\le n-1})$$
Petit exo vicieux:
Ecrire l'identité précédente pour $n=2$
Amicalement
pappus
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
avatar
Franchement, le produit vectoriel en dimension $n$ n'a jamais eu beaucoup d'intérêt, à ma connaissance. Le produit vectoriel a de l'intérêt en dimension 3, et même un grand intérêt, parce qu'alors la dimension de l'espace des endomorphismes antisymétriques est justement la dimension de l'espace, ça tombe bien : $\frac{n(n-1)}2=n$.
Au fait, il me semble que le produit vectoriel habituel, en dimension 3, fait partie des victimes des allègements de programmes de prépas, les collègues me corrigeront si je fais erreur. Sans parler bien sûr des torseurs (champs équiprojectifs) que nous étudiions naguère dans ces classes...
.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Mon cher Chaurien
Ce n'est pas parce que le produit vectoriel a disparu des programmes des classes préparatoires et de l'agrégation qu'il faut céder à la mode de se voiler les yeux et de se boucher les oreilles.
Tu peux toujours te limiter aux cas $n=2$ et $n=3$ qui ne sont pas très fatigants.
Amicalement
pappus
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
@pappus : Pour $n=2$, cela donne $\langle\wedge{u}\mid\wedge{v}\rangle=\langle u\mid v\rangle$.
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Merci Gai Requin
Tout le problème est de savoir ce que signifie le symbole $\wedge u$ et d'ailleurs pourquoi cette écriture?
Amicalement
pappus
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Soit $u\in E$ (de dimension $2$).
Alors $\wedge u$ est le vecteur tel que, pour tout $v$, $\langle\wedge{u}\mid v\rangle=[u,v]$.
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Bien sûr Gai Requin
Parle moi plutôt de l'application $u\mapsto \wedge u.\qquad$
Et pourquoi cette notation $\wedge u?\qquad$
Comment aurait-on dû écrire le produit vectoriel en dimension $n?\qquad$
Amicalement
pappus
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
$$u_1\wedge\cdots\wedge u_{n-1}=\bigwedge_{i=1}^{n-1}u_i.$$
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Merci Gai Requin
J'aurai plutôt opté pour la notation:
$$\wedge(u_1,u_2,\dots, u_{n-1}).\qquad$$
Une brave fonction $(n-1)$-linéaire antisymétrique à valeurs dans $E$.
Et quid de l'application $u\mapsto \wedge(u)\qquad$ dans le cas $n=2$?
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par pappus.
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
C'est une isométrie tout ce qu'il y a de plus honnête !
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Merci Gai Requin
Oui, c'est une isométrie honnête si tant est qu'il en existe de déshonnètes!
Tu l'avais d'ailleurs déjà écrit.
Mais ce n'est pas n'importe quelle honnête isométrie!!!!!
Amicalement
pappus
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Ce que j'aime bien chez toi pappus, c'est que tu pars toujours au quart de tour direct winking smiley
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
avatar
Voici deux exercices concernant le brave produit vectoriel en dimension 3.

$\bullet$ Soit un espace affine euclidien $E$ de dimension $3 $ muni d'un repère orthonormal, et dans cet espace soit un cube tel que les coordonnées de ses 8 sommets dans le repère sont toutes des nombres entiers. Démontrer que l'arête de ce cube est un nombre entier.

$\bullet$ Soit un espace vectoriel euclidien $E, (...|...)$ de dimension $ \ge 2$, soit une opération $(u,v) \mapsto u*v$ dans $E$ telle que, quels que soient $u, v, w$ éléments de $E$, on ait : $ u*(v*w)=(u|w)v-(u|v)w$. Démontrer que $\dim E =3$ et que : $ \forall u \in E, \forall v \in E, u*v=u \wedge v$, ou bien : $ \forall u \in E, \forall v \in E, u*v=-u \wedge v$, où $...\wedge...$ est le produit vectoriel.

Bon dimanche.
Fr. Ch.
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Mon cher Gai Requin
Pas moyen d'avoir des renseignements supplémentaires sur $\wedge$ en dimension $2$?
Au moins, au moins, est-ce une isométrie directe ou indirecte?
Amicalement
pappus
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
J'ai répondu dans mon message précédent.
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Merci Gai Requin
N'oublie pas que je suis très âgé.
On perd le sens de l'humour. On est hypocondriaque. On lit en diagonale et de travers.
J'aurais dû prendre ton dernier message au second degré!
Je ne l'ai pas fait!
C'est triste mais c'est ainsi!
$\wedge$ est une bien une isométrie directe comme tu le sous-entends!
C'est donc une rotation mais pas n'importe quelle rotation!!!
On va y arriver enfin!
Veux-tu que je fasse un AVC à me faire glandouiller ainsi?
Amicalement
pappus
PS
Excuse moi!
J'avais oublié le quart de tour.
Je suis lamentable!
Il est temps d'aller au doodo!
Mais nos lecteurs vont-ils y comprendre quelque chose à part que je suis vieuzé!



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par pappus.
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
C'était une si mauvaise blague mon quart de tour direct ?
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Non Gai Requin
Mais c'est difficile de rire avec des rotations fussent-elles d'ordre $4!\qquad$
N'oublie pas ma figure sinon je vais faire ds cauchemars!
Amicalement
pappus
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
avatar
En prépa on avait la définition suivante.

$u$ et $v$ sont deux vecteurs de $\mathbf{R}^3$ et $ f (x) = \det (u, v, x) $. $f$ est linéaire donc, par le théoreme de Riesz, il existe un unique vecteur $w$ noté $u \wedge v$ tel que $\langle u \wedge v , x \rangle = \det (u, v, x ) $.
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
avatar
Pour $n=2$ ce n'est pas un produit vectoriel, c'est un produit mixte.
Je sais bien qu'on peut définir un produit vectoriel en toute dimension, en généralisant la définition rappelée par Reinhard - et qui est pour moi la meilleure - mais j'attends toujours qu'on me fasse voir son utilité en mathématiques, pour les dimensions autres que 3.
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Mon cher Chaurien
Le fait que tu dises qu'en dimension $2$ le produit vectoriel, c'est le produit mixte prouve que tu n'as rien compris, ni au produit vectoriel ni au produit mixte!
Quant à l'utilité des objets mathématiques, elle ne regarde que ceux qui s'en servent!
Quelle est l'utilité d'une conique dans l'enseignement actuel?
La réponse va de soi!
Strictement aucune!
Amicalement
pappus
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
Bonjour,

Pappus, avec une parabole, on peut capter certaines ondes et rouler la nuit en voiture.

Cordialement,

Rescassol
JLT
Re: Définitions du produit vectoriel
il y a deux mois
avatar
Si $v_1,\ldots,v_k$ sont des vecteurs d'un espace vectoriel $E$, on peut définir $v_1\wedge\cdots\wedge v_k\in\Lambda^k E$ ($k$-ième puissance extérieure de $E$). On retrouve le produit vectoriel lorsque $k=n-1$.

Les puissances extérieures d'un espace vectoriel interviennent couramment en géométrie différentielle. Par exemple si $\omega$ est une $k$-forme différentielle sur une variété $V$ alors $\omega_x$ est un élément de $\Lambda^k ((T_x V)^*)$.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 354, Messages: 1 509 126, Utilisateurs: 27 697.
Notre dernier utilisateur inscrit J-Maths.


Ce forum
Discussions: 9 035, Messages: 105 542.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page