Définitions du produit vectoriel
Bonjour
J'essaie de comprendre l'équivalence entre les deux définitions du produit vectoriel que je connais, à savoir : celle par le produit mixte, et celle que j'ai appris à l'époque au lycée : la base (u, v, u×v) est directe, u×v est orthogonal à u et à v, IIu×vII = IIuII.IIvII.Isin(u,v)I.
Quelqu'un peut-il me donner une idée de la manière dont on passe d'une définition à l'autre ?
J'essaie de comprendre l'équivalence entre les deux définitions du produit vectoriel que je connais, à savoir : celle par le produit mixte, et celle que j'ai appris à l'époque au lycée : la base (u, v, u×v) est directe, u×v est orthogonal à u et à v, IIu×vII = IIuII.IIvII.Isin(u,v)I.
Quelqu'un peut-il me donner une idée de la manière dont on passe d'une définition à l'autre ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
En fait ces notions sont issues de la physique: calculs de moments, électromagnétisme, etc, etc...
On avait besoin de ces notions (produit mixte et vectoriel) au lycée que pour satisfaire les besoins des physiciens, un peu comme on enseignait autrefois les divisions et les faisceaux harmoniques en Seconde pour pouvoir faire de l'Optique de Gauss en Première.
En tout cas du point de vue mathématique, tout repose sur la notion d'orientation et de ce qu'on appelle base directe.
C'est une notion suffisamment difficile aujourd'hui pour qu'on ait laissé tomber définitivement la théorie des angles orientés par exemple
Bref comme l'espace possède deux orientations, on a donc deux produits mixtes et deux produits vectoriels.
Nos braves physiciens qui ne se souciaient guère de ces subtilités géométriques définissaient les repères directs au moyen du bonhomme d'Ampère empalé sur son axe et nos amis anglais qui ne font jamais rien comme nous utilisaient le tire-bouchon (de ce démon) de Maxwell.
Amicalement
[small]p[/small]appus
http://uel.unisciel.fr/physique/outils_nancy/outils_nancy_ch03/co/apprendre_03_03.html
Voici ma façon de voir les choses :
1) On part de la définition suivante. Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension 3. Pour tout $(u,v)$ dans $E^2$, $u\wedge v$ est l'unique vecteur de $E$ tel que $\forall x \in E, [u, v, x] = (u\wedge v) \cdot x$.
2) On montre que pour tout $(u,v)$ dans $E^2$, $(u,v)$ est lié si et seulement si $u\wedge v = 0$.
3) On en déduit que pour tout $(u,v)$ dans $E^2$, si $(u,v)$ est libre, alors $(u, v, u\wedge v)$ est une base directe de $E$.
4) On voit facilement avec 1) que $u\wedge v$ est orthogonal à $u$ et à $v$ pour tout $(u,v)$ dans $E^2$.
5) À partir de 1), on démontre les formules donnant les coordonnées du produit vectoriel dans une base orthornormale directe de $E$.
6) On en déduit (petit calcul) l'égalité de Lagrange :
\[ \forall (u,v) \in E^2, \lVert u\wedge v \rVert ^2 + (u \cdot v)^2 = \lVert u \rVert ^2 \lVert v \rVert ^2 \]
7) Sachant que $u \cdot v = \lVert u \rVert \lVert v \rVert \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle (orienté ou non) entre les vecteurs $u$ et $v$, on voit que 6) entraîne directement $\lVert u\wedge v \rVert = \lVert u \rVert \lVert v \rVert \lvert\sin(\theta) \rvert$.
https://lamaingauche.com/fr/ctl-103846-.html?Cookie=set
Un petit exo standard sur le produit vectoriel dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension $n.\qquad$
Montrer l'identité:
$$\langle u_1\wedge u_2\wedge \dots \wedge u_{n-1}\vert v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_{n-1}\rangle =\mathrm{Det}(\langle u_i\vert v_j\rangle_{1\le i\le n-1;1\le j\le n-1})$$
Petit exo vicieux:
Ecrire l'identité précédente pour $n=2$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Au fait, il me semble que le produit vectoriel habituel, en dimension 3, fait partie des victimes des allègements de programmes de prépas, les collègues me corrigeront si je fais erreur. Sans parler bien sûr des torseurs (champs équiprojectifs) que nous étudiions naguère dans ces classes...
.
Ce n'est pas parce que le produit vectoriel a disparu des programmes des classes préparatoires et de l'agrégation qu'il faut céder à la mode de se voiler les yeux et de se boucher les oreilles.
Tu peux toujours te limiter aux cas $n=2$ et $n=3$ qui ne sont pas très fatigants.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Tout le problème est de savoir ce que signifie le symbole $\wedge u$ et d'ailleurs pourquoi cette écriture?
Amicalement
[small]p[/small]appus[small][small][/small][/small]
Alors $\wedge u$ est le vecteur tel que, pour tout $v$, $\langle\wedge{u}\mid v\rangle=[u,v]$.
Parle moi plutôt de l'application $u\mapsto \wedge u.\qquad$
Et pourquoi cette notation $\wedge u?\qquad$
Comment aurait-on dû écrire le produit vectoriel en dimension $n?\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'aurai plutôt opté pour la notation:
$$\wedge(u_1,u_2,\dots, u_{n-1}).\qquad$$
Une brave fonction $(n-1)$-linéaire antisymétrique à valeurs dans $E$.
Et quid de l'application $u\mapsto \wedge(u)\qquad$ dans le cas $n=2$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Oui, c'est une isométrie honnête si tant est qu'il en existe de déshonnètes!
Tu l'avais d'ailleurs déjà écrit.
Mais ce n'est pas n'importe quelle honnête isométrie!!!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
$\bullet$ Soit un espace affine euclidien $E$ de dimension $3 $ muni d'un repère orthonormal, et dans cet espace soit un cube tel que les coordonnées de ses 8 sommets dans le repère sont toutes des nombres entiers. Démontrer que l'arête de ce cube est un nombre entier.
$\bullet$ Soit un espace vectoriel euclidien $E, (...|...)$ de dimension $ \ge 2$, soit une opération $(u,v) \mapsto u*v$ dans $E$ telle que, quels que soient $u, v, w$ éléments de $E$, on ait : $ u*(v*w)=(u|w)v-(u|v)w$. Démontrer que $\dim E =3$ et que : $ \forall u \in E, \forall v \in E, u*v=u \wedge v$, ou bien : $ \forall u \in E, \forall v \in E, u*v=-u \wedge v$, où $...\wedge...$ est le produit vectoriel.
Bon dimanche.
Fr. Ch.
Pas moyen d'avoir des renseignements supplémentaires sur $\wedge$ en dimension $2$?
Au moins, au moins, est-ce une isométrie directe ou indirecte?
Amicalement
[small]p[/small]appus
N'oublie pas que je suis très âgé.
On perd le sens de l'humour. On est hypocondriaque. On lit en diagonale et de travers.
J'aurais dû prendre ton dernier message au second degré!
Je ne l'ai pas fait!
C'est triste mais c'est ainsi!
$\wedge$ est une bien une isométrie directe comme tu le sous-entends!
C'est donc une rotation mais pas n'importe quelle rotation!!!
On va y arriver enfin!
Veux-tu que je fasse un AVC à me faire glandouiller ainsi?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Excuse moi!
J'avais oublié le quart de tour.
Je suis lamentable!
Il est temps d'aller au doodo!
Mais nos lecteurs vont-ils y comprendre quelque chose à part que je suis vieuzé!
Mais c'est difficile de rire avec des rotations fussent-elles d'ordre $4!\qquad$
N'oublie pas ma figure sinon je vais faire ds cauchemars!
Amicalement
[small]p[/small]appus
$u$ et $v$ sont deux vecteurs de $\mathbf{R}^3$ et $ f (x) = \det (u, v, x) $. $f$ est linéaire donc, par le théoreme de Riesz, il existe un unique vecteur $w$ noté $u \wedge v$ tel que $\langle u \wedge v , x \rangle = \det (u, v, x ) $.
Je sais bien qu'on peut définir un produit vectoriel en toute dimension, en généralisant la définition rappelée par Reinhard - et qui est pour moi la meilleure - mais j'attends toujours qu'on me fasse voir son utilité en mathématiques, pour les dimensions autres que 3.
Le fait que tu dises qu'en dimension $2$ le produit vectoriel, c'est le produit mixte prouve que tu n'as rien compris, ni au produit vectoriel ni au produit mixte!
Quant à l'utilité des objets mathématiques, elle ne regarde que ceux qui s'en servent!
Quelle est l'utilité d'une conique dans l'enseignement actuel?
La réponse va de soi!
Strictement aucune!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Pappus, avec une parabole, on peut capter certaines ondes et rouler la nuit en voiture.
Cordialement,
Rescassol
Les puissances extérieures d'un espace vectoriel interviennent couramment en géométrie différentielle. Par exemple si $\omega$ est une $k$-forme différentielle sur une variété $V$ alors $\omega_x$ est un élément de $\Lambda^k ((T_x V)^*)$.