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Cercles dans triangle

Envoyé par rferreol2 
Cercles dans triangle
il y a deux mois
Bonjour,

Pierre Daniel me propose de publier ce qui suit :

Dans la lettre qu'il m'avait écrite en 1991, André Viricel me demandait si la propriété suivante qu'il venait de découvrir était connue.
"Etant donnés le cercle circonscrit à un triangle et un ex-inscrit, les extrémités du diamètre de ce dernier, perpendiculaire à la ligne des centres, sont centres de deux cercles tangents entre eux et tangents au cercle circonscrit".
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
Voici une figure.


Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - geogebra-export.ggb (78.7 KB)
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves
C'est tout simplement la relation d'Euler (inconnue au bataillon!):
$$OI_A^2=R^2+2Rr_A\qquad$$
mâtinée de la moitié de notre programme de géométrie, i.e: l'axiome de Pythagore!
$$OI_A^2+r_A^2=(R+r_A)^2\qquad$$
Amicalement
pappus



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par pappus.
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
avatar
Bonsoir pappus,

On a : $2Rr_A = \dfrac{2Rrs}{s-a}=\dfrac{abc}{2(s-a)}= \dfrac{abc}{-a+b+c}=OI_A^2-R^2.$

Donc $OI_A^2 = R^2 +2Rr_A.$

Amicalement
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
Merci Bouzar
Autrefois on se servait de la formule évaluant la différence des puissances d'un point par rapport à deux cercles.
Aujourd'hui, comme il ne nous reste plus que le cercle trigonométrique, il est devenu très difficile de l'appliquer!
Exit les relations d'Euler. on peut vivre sans!
Elles n'ont aucune importance!
Amicalement
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
avatar
Voici une preuve plus élémentaire.

On a :

$(OI_A+R)(OI_A-R) = I_AS' \times I_AS =A I_A \times RI_A = A I_A \times RC = \dfrac{ PI_A \times RR' }{ RC } \times RC = r_A \times 2R.$

On en tire : $OI_A^2 = R^2 + r_A \times 2R.$

Amicalement


Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
avatar
Un petit complément.

On a :

$OI_A^2 = R^2 + r_A \times 2R \iff 2Rr_A = OI_A^2 -R^2 \iff (R+OI_A)r_A+(R-OI_A)r_A=(OI_A-R)(OI_A+R)$

Une division des deux membres par $(OI_A-R)(OI_A+R)r_A$ conduit à :

$\dfrac{1}{OI_A-R}-\dfrac{1}{OI_A+R} = \dfrac{1}{r_A}.$

Amicalement



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Bouzar.
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
[www.les-mathematiques.net]

"Exit les relations d'Euler. on peut vivre sans!
Elles n'ont aucune importance! "

pas complètement..
[fr.wikipedia.org])

Que je vais retravailler...
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
avatar
Merci Robert de rappeler la mémoire de notre vieil ami André Viricel (1913-2003).


Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
[www.les-mathematiques.net]

Bonjour : peux-tu détailler $ \dfrac{abc}{-a+b+c}=OI_A^2-R^2$, merci !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
Mon cher Robert
Pourquoi n'as-tu pas le Lebossé-Hémery dans ta bibliothèque?
Amicalement
pappus


Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
Dans [www.les-mathematiques.net]
Bouzar écrivait:
-------------------------------------------------------
>Un petit complément.

> On a :$\dfrac{1}{R-OI_A}+\dfrac{1}{R+OI_A} =
\dfrac{1}{r_A}.$

ou plutôt $\quad\displaystyle \frac{1}{OI_A-R} - \frac{1}{OI_A+R} = \frac{1}{r_A}$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
avatar
Bonsoir,

Oui effectivement, désolé j'ai corrigé.

Amicalement
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
avatar
C'est toujours avec grand plaisir que je retrouve dans les messages de pappus la typographie rassurante de mon Lebossé-Hémery que j'ai depuis soixante ans.
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
pappus écrivait:
-------------------------------------------------------
> Mon cher Robert
> Pourquoi n'as-tu pas le Lebossé-Hémery dans ta bibliothèque?
> Amicalement

Car je suis en Normandie...
Et je ne l'ai toujours pas trouvé en PDF...
mais [www.numdam.org] fait à peu près pareil en faisant d'un coup l'inscrit et l'exinscrit : joli !

et n'ayant pas eu de réponse à $ \dfrac{abc}{-a+b+c}=OI_A^2-R^2$ (dont j'espérai en tirer par analogie $ \dfrac{abc}{a+b+c}=OI^2-R^2$ ) et aimant les calculs , j'ai rédigé [fr.wikipedia.org])
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
Bonjour,
Je me suis dit que le théorème de Viricel devait avoir son équivalent pour le cercle inscrit.
Ce qui a donné la figure ci-dessous.
X est une extrémité d'un diamètre du cercle inscrit perpendiculaire à (OI).
la demi-droite OX coupe le cercle circonscrit en Y.

Si on démontrait simplement que le triangle IXY est isocèle, on aurait une démonstration de la relation d'Euler rapide, sans puissance par rapport à un cercle and co ?

En effet, on aurait $OY^2 = (R-r)^2=d^2+r^2$.

Pour ce post, je demande l'indulgence de Pappus.


Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
Mon cher Robert
Pourquoi parles-tu au conditionnel plutôt qu'au présent de l'indicatif?
Amicalement
pappus
Re: Cercles dans triangle
il y a deux mois
[www.les-mathematiques.net]

Merci de me rassurer avec de l'indicatif, mais je donne toujours ma langue au chat pour IXY isocèle...

Par contre , j'ai reproduit la belle démonstration de Lebossé H dans wikipedia
[fr.wikipedia.org]
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