Produit extérieur et produit tensoriel
Bonjour
Je suis en train d'étudier tout seul la notion de produit extérieur, mais je n'arrive pas à comprendre la définition.
Si $\omega$ est une $k$-forme, $\eta$ est une $\ell$-forme, alors on définit le produit extérieur ($k+\ell$-forme) par :
$$\omega \wedge \eta = \frac{(k+\ell)!}{k! \ \ell!}Alt(\omega \otimes \eta),
$$ où $Alt(T)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in \mathfrak S_k} sgn(\sigma) . T\circ \sigma$.
Je ne vois pas comment expliciter le produit tensoriel (c'est peut-être cette notion que je n'arrive pas à comprendre, car à chaque fois que je cherche sur Google, il y a le mot foncteur qui apparaît, et je ne suis pas du tout un algébriste, donc je ne comprends plus rien. Et également, à certains endroits ils parlent de produit tensoriel entre des espaces tangents et des espaces cotangents que je ne comprends pas non plus).
Merci d'avance !
Je suis en train d'étudier tout seul la notion de produit extérieur, mais je n'arrive pas à comprendre la définition.
Si $\omega$ est une $k$-forme, $\eta$ est une $\ell$-forme, alors on définit le produit extérieur ($k+\ell$-forme) par :
$$\omega \wedge \eta = \frac{(k+\ell)!}{k! \ \ell!}Alt(\omega \otimes \eta),
$$ où $Alt(T)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in \mathfrak S_k} sgn(\sigma) . T\circ \sigma$.
Je ne vois pas comment expliciter le produit tensoriel (c'est peut-être cette notion que je n'arrive pas à comprendre, car à chaque fois que je cherche sur Google, il y a le mot foncteur qui apparaît, et je ne suis pas du tout un algébriste, donc je ne comprends plus rien. Et également, à certains endroits ils parlent de produit tensoriel entre des espaces tangents et des espaces cotangents que je ne comprends pas non plus).
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Réponses
Ca n'est pas une très bonne définition car elle est tres ad hoc (comme la définition que tu donnes du produit extérieur qui est "pire" car elle scinde un quotient), mais elle te permet déjà de te représenter comment fonctionne le produit tensoriel des formes.
En effet la bonne définition de produit tensoriel est très générale et redonne celle ci dans le cas des formes linéaires (plus précisement tu as un isomorphisme canonique $m-\text{Lin}(V, k)\otimes \ell-\text{Lin}(V, k)\simeq (m+\ell)-\text{Lin}(V, k)$ pour $V$ un espace vectoriel).