Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
272 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Produit extérieur et produit tensoriel

Envoyé par Hsrn 
Produit extérieur et produit tensoriel
il y a deux mois
Bonjour
Je suis en train d'étudier tout seul la notion de produit extérieur, mais je n'arrive pas à comprendre la définition.

Si $\omega$ est une $k$-forme, $\eta$ est une $\ell$-forme, alors on définit le produit extérieur ($k+\ell$-forme) par :
$$\omega \wedge \eta = \frac{(k+\ell)!}{k! \ \ell!}Alt(\omega \otimes \eta),
$$ où $Alt(T)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in \mathfrak S_k} sgn(\sigma) . T\circ \sigma$.

Je ne vois pas comment expliciter le produit tensoriel (c'est peut-être cette notion que je n'arrive pas à comprendre, car à chaque fois que je cherche sur Google, il y a le mot foncteur qui apparaît, et je ne suis pas du tout un algébriste, donc je ne comprends plus rien. Et également, à certains endroits ils parlent de produit tensoriel entre des espaces tangents et des espaces cotangents que je ne comprends pas non plus).

Merci d'avance !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Produit extérieur et produit tensoriel
il y a deux mois
Si $\omega$ et $\eta$ sont deux formes $k$ et $\ell$-linéaires respectivement, alors $\omega\otimes \eta (v_1,...,v_{k+\ell})=\omega(v_1,...,v_k)\eta(v_{k+1},...,v_{k+\ell})$ définit une forme $k+\ell$ linéaire. Tu peux prendre ça comme définition du produit tensoriel de deux formes (en globalisant la définition precedente).

Ca n'est pas une très bonne définition car elle est tres ad hoc (comme la définition que tu donnes du produit extérieur qui est "pire" car elle scinde un quotient), mais elle te permet déjà de te représenter comment fonctionne le produit tensoriel des formes.

En effet la bonne définition de produit tensoriel est très générale et redonne celle ci dans le cas des formes linéaires (plus précisement tu as un isomorphisme canonique $m-\text{Lin}(V, k)\otimes \ell-\text{Lin}(V, k)\simeq (m+\ell)-\text{Lin}(V, k)$ pour $V$ un espace vectoriel).
Re: Produit extérieur et produit tensoriel
il y a deux mois
Merci !
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 278, Messages: 1 507 891, Utilisateurs: 27 677.
Notre dernier utilisateur inscrit Farid Abidi.


Ce forum
Discussions: 9 033, Messages: 105 468.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page