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Cercles tangents à une droite

Envoyé par Homo Topi 
Cercles tangents à une droite
il y a deux mois
J'ai un nouveau problème qui m'est apparu en essayant de dessiner un truc sur GeoGebra (un design de guitare électrique, si ça intéresse quelqu'un).

Dans le plan, on considère une droite $d$ et un point $A$ qui n'appartient pas à $d$. Il va exister toutes sortes de cercles tangents à $d$ qui passent par $A$, moyennant que leur diamètre soit plus grand que la distance de $A$ à $d$. Ce qui m'intéresserait, ça serait de savoir si les centres de ces cercles décrivent un lieu de points particulier (idéalement, une droite, mais je n'en ai absolument aucune idée) et si cet éventuel lieu de points est constructible.

Pour tout point $M$ sur $d$, je pourrais par exemple tracer la droite $(AM)$, et si je me souviens bien, les cercles auxquels ces deux droites seraient tangentes ont leur centre sur la bissectrice de l'angle formé par $d$ et $(AM)$. Mais je n'ai pas appris beaucoup de constructions géométriques, on ne faisait presque pas de vraie géométrie avant le lycée et au lycée, on ne faisait pratiquement que de la géométrie analytique... en tout cas si ce que j'ai dit ici est correct, mon problème n'a pas vraiment de sens car il existe une infinité de choix pour le point $M$ qui est sur $d$, donc une infinité de bissectrices sur lesquelles les centres des cercles se situent.

Peut-être que je peux restreindre le problème de cette manière : chaque cercle $C$ sera tangent à $d$ en un point $T_C$ qui dépend évidemment du diamètre de $C$. Il y aura donc également deux arcs de cercle entre $A$ et $T_C$. J'aimerais qu'ils fassent respectivement $1/4$ et $3/4$ de cercle.

Est-ce que mon problème se résout tel quel ?

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Cercles tangents à une droite
il y a deux mois
Mon cher Homo Topi
Peux-tu nous jurer que tu apprendras la définition d'une parabole un jour?
Amicalement
pappus
Re: Cercles tangents à une droite
il y a deux mois
Je connais plusieurs définitions d'une parabole et je ne vois pas le rapport.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Cercles tangents à une droite
il y a deux mois
Alors c 'est peut-être la définition du cercle qui te manque ? Ici, le centre du cercle est équidistant de $A$ et de $d$. Ce qui est une des définitions basique de la parabole (définition par foyer et directrice).

Cordialement.
Re: Cercles tangents à une droite
il y a deux mois
Depuis quand vous êtes devenus aussi méprisants sur ce forum ?

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Cercles tangents à une droite
il y a deux mois
Jusqu'à quand seras-tu si susceptible ? Je pense que Gérard ne voulait pas dire « définition d'un cercle en général » mais « caractérisation des cercles qui permettent de définir la parabole ». En remplaçant « tangent à la droite $d$ » par « à même distance de $A$ que de $d$ », ce qui est visiblement équivalent, on ouvre la porte à faire des calculs. Quant à pappus, je suppose que son intention était de de pointer vers le mot clé idoine.

Bref, fixons une droite $d$ et un point $A\notin d$. On note $A'$ le projeté orthogonal de $A$ sur $d$, $O$ le milieu de $[AA']$ et $i=\frac{1}{OA}\vec{OA}$, qu'on complète en une base orthonormée $(i,j)$. Dans le repère $(O,i,j)$, $A$ a pour coordonnées $(a,0)$ pour $a=OA$ et $d$ a pour équation $x=-a$. Pour $M$ de coordonnées $(x,y)$, soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $d$, ses coordonnées sont $(-a,y)$. Bien sûr, le cercle de centre $M$ passant par $H$ est tangent à $d$ (et réciproquement, un cercle tangent à $d$ en un point $H'$ est centré sur la perpendiculaire à $d$ contenant $H'$).

La parabole de foyer $A$ et de directrice $d$ est l'ensemble des $M$ tels que la distance de $M$ à $A$ est égale à la distance de $M$ à $d$, c'est-à-dire $MA^2=MH^2$, soit encore \[
(x-a)^2+y^2=(x+a)^2+0^2\iff y^2=4ax.\]Tu vois que c'est une parabole ?


Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - geogebra-export.ggb (64 KB)
Re: Cercles tangents à une droite
il y a deux mois
Citation
Math Coss
Jusqu'à quand seras-tu si susceptible ?

Jusqu'à ce qu'on me réponde respectueusement sans que je sois obligé de le demander explicitement. A l'extérieur du sous-forum Géométrie, ça ne m'arrive jamais d'avoir besoin de le faire. Ici, ça m'arrive à chaque fois. Quelle est la différence ? La différence, c'est que pappus ne poste pas en dehors du forum Géométrie. Il y a des façons de dire ce qu'il a dit qui ne portent pas atteinte à l'intelligence de la personne qui a posé la question, et je rappelle que les règles du forum stipulent qu'il n'y a pas de discrimination de niveau : j'ai le droit de ne pas savoir/voir un truc, aussi bête soit-il, et ça ne donne à PERSONNE le droit d'être condescendant.

EDIT : et gerard0 ne répond pas comme ça à chaque fois, je ne sais pas pourquoi il l'a fait ici. Les gens qui posent des questions doivent réfléchir au problème avant de demander sur le forum, peut-être ceux qui répondent devraient réfléchir à l'impact de leur réponse avant de l'envoyer aussi.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Homo Topi.
Re: Cercles tangents à une droite
il y a deux mois
Mais oui, j'ai compris ton message MC.

J'étais en train de bidouiller mon dessin sur GeoGebra et ça m'a fait réfléchir à l'envers, c'est tout bête que si $C$ est le centre du cercle, il faut qu'on ait $\text{dist}(C,A) = \text{dist}(C,d)$ et qu'on obtient directement l'équation d'une conique d'excentricité $1$ avec ça.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Cercles tangents à une droite
il y a deux mois
Homo Topi,

Il n'y a que du factuel dans mon message. Et comme tu ne voyais pas en quoi le fait qu'il y ait un cercle tangent servait, j'ai rappelé des évidences.
Si tu es vexé chaque fois qu'on te rappelle une évidence, évite de reposer les questions qui nous amènent à le faire.

Cordialement.
Re: Cercles tangents à une droite
il y a deux mois
L'art et la manière.

Citation
gerard0
Alors c'est peut-être la définition du cercle qui te manque ?

Puisque tu parles d'évidences, c'est évident que je connais la définition d'un cercle (d'où le fait que je trouve ça condescendant, quoique moins que le message de pappus). Mais je n'avais pas compris sur le coup comment se servir de ça pour répondre à ma question, aussi simple soit-elle.

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