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Une homographie ?

Envoyé par malaka 
Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonjour,
Je bloque depuis quelques temps sur l’exercice suivant :

À tout point $M$ de $\Delta_B$ on associe le point $M’$ de $\Delta_C$ tel que $(AM,AM’)=\alpha$ où $\alpha$ est la mesure de l’angle orienté $\frac{1}{2}(AB,AC)$. L’application $f :M\longrightarrow M’$ est-elle une homographie ?

C’est tiré de l’introduction à la géométrie projective de D. Lehmann. Le cours contient une définition des homographies entre droites du plan (comme composée de 4 homographies) et c’est à peu près tout ce que je vois.

J’ai réussi à déterminer que son axe devrait être la droite $BC$ mais c’est tout.
Merci d’avance.


Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonjour,

La rotation d'angle $\theta$ autour de $O$ est une homographie du faisceau de droites passant par $O$. On peut si on veut penser à la formule d'addition pour les tangentes.

À partir de là, il est clair que ton $f$ est une homographie de $\Delta_B$ sur $\Delta_C$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonjour,

Un petit coup de Morley inscrit pour le plaisir ($M'$ est renommé en $N$):
% Malaka - 08 Avril 2021 - Une homographie ?

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w
syms uB vB wB % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

syms s t real

m=s*b; % M est sur (IB)
mB=s*bB;

n=t*c; % N est sur (IC)
nB=t*cB;

AM2=(m-a)*(mB-aB); % Carrés des distances AM, AN et MN
AN2=(n-a)*(nB-aB);
MN2=(n-m)*(nB-mB);

CosAlpha2=Factor((AM2+AN2-MN2)^2/(4*AM2*AN2)); % Un coup de Pythagore généralisé

CosA=-(v*wB+vB*w)/2; % Cosinus de l'angle A

NulAlpha=Factor(CosA-(2*CosAlpha2-1)); % Car cos(2x)=2cos(x)^2-1

Eq=Factor(numden(NulAlpha)/(v+w)^2); % On simplifie

% Eq=0 se décompose en Eq1=0 ou Eq2=0 où::

Eq1=(s*u^2 - u*w - v*w - u*v + t*u^2 - u^2 + s*u*v + s*u*w + t*u*v + s*v*w + t*u*w + t*v*w - 2*s*t*u*v - 2*s*t*u*w);
Eq2=(v^2*w^2 - s*v^3*w - t*v*w^3 + u*v*w^2 + u*v^2*w + u^2*v*w - s*u^2*w^2 - t*u^2*v^2 + s*t*u*v^3 + s*t*u*w^3 - s*u*v*w^2 - s*u*v^2*w - t*u*v*w^2 - t*u*v^2*w + s*t*u*v*w^2 + s*t*u*v^2*w);

Eq1=collect(Eq1,[s t]);
Eq2=collect(Eq2,[s t]);

% ce qui donne:

Eq1 = -2*u*(v+w)*s*t + (u+v)*(u+w)*s + (u+v)*(u+w)*t -(u+v)*(u+w)
Eq2 = u*(v+w)*(v^2+w^2)*s*t - w*(u+v)*(v^2+u*w)*s - v*(u+w)*(w^2+u*v)*t + v*w*(u+v)*(u+w)
On voit que, aussi bien dans $Eq1$ que dans $Eq2$, on peut exprimer $t$ en fonction de $s$ de façon homographique, d'où le résultat.

Cordialement,

Rescassol
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
À noter que c'est tout à fait général. Le contexte avec le triangle, son cercle inscrit et tout le bazar n'a rien à faire là dedans : deux droites, un point en dehors, un angle et ça roule !
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonsoir à tous
Le problème n'est pas tant de savoir si $f$ est une homographie, (la démonstration de GaBuZoMeu me parait assez claire), que d'en exhiber les éléments caractéristiques.
Malaka a bien donné l'axe d'homographie à savoir la droite $BC$ et j'en suis très agréablement surpris. Mais comment a-t-il fait?
Il a seulement oublié les points limites, à savoir $X\in \Delta_B$ tel que $f(X)=\infty_{\Delta_C}$ et $Y\in \Delta_C$ tel que $f(\infty_{\Delta_B})=Y$
Mais la véritable question qui excitait nos anciens était la suivante:
Quelle est l'enveloppe de la droite $MM'$?
Amicalement
pappus
PS
1° Curieusement la solution est quelque part dans le Lebossé-Hémery.
Autrement dit les bacheliers de l'époque utilisaient les homographies sans le savoir.
Sans le savoir? C'est la ritournelle à la mode aujourd'hui!
2° Tant qu'à faire puisqu'on est dans les défuntes homographies, retournons le couteau dans la plaie.
L'homographie $f:\Delta_B\mapsto \Delta_C$ se prolonge de façon unique en une homographie définie sur tout le plan.
Est-ce vrai ou bien est-ce que je raconte n'importe quoi?



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par pappus.


Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves
Je possède dans ma bibliothèque un ouvrage de Daniel Lehmann et Rudolph Bkouche:
Initiation à la géométrie, publié au puf.
A noter que le puf a disparu en compagnie de la géométrie.
Je me souviens de son magasin, au coin de la place de la Sorbonne et du BoulMich.
Qu'est-il devenu?
En tout cas le titre de cet ouvrage n'est pas tout à fait le même que celui cité par Malaka, aussi par curiosité j'y ai jeté un petit coup d'oeil et bingo, j'y ai retrouvé son exercice très détaillé avec en prime cette question d'enveloppe.
Alors je précise ma figure, même si elle se suffisait à elle même!
Amicalement
pappus



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par pappus.


Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonjour,

L'enveloppe de la droite $(MM')$ est la conique d'équation:
$(v+w-2u)^2z^2 - 2u(2u^2(v+w)-3u(v^2+w^2)+2vw(v+w-u))z\overline{z} + u^2(u(v+w)-2vw)^2\overline{z}^2$
$-4u(v-w)^2(z+u^2\overline{z}-u)=0$
La correspondance $f:M \mapsto M'$ se prolonge en une homographie du plan entier, d'équation $f(z)=\dfrac{v(u+w)z - 2uvw}{(v+w)z - w(u+v)}$.

Cordialement,

Rescassol
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Merci Rescassol
Le plan entier?
Peut-être?
Remarque que la formule que tu as donnée parle pour elle même mais cela irait mieux si tu l'écrivais noir sur blanc
Selon la réponse que tu me donneras, de nouvelles questions vont se poser!!!!
Amicalement
pappus
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonsoir,

Le plan entier avec son point à l'infini.

Cordialement,

Rescassol
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Mon cher Rescassol
Tu veux me provoquer un A.V.C?
Tu ne veux pas dire ce que je veux te faire dire!!!!!!!
Le plan tout entier avec son point à l'infini, qu'est-ce que c'est que ce plan?
Remarque, dans ma jeunesse acnéique, j'ai vécu une époque où on ne connaissait que le plan, le plan tout court!
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves!
Amicalement
pappus
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonsoir,

Pappus, tu veux me faire écrire le mot "projectif" ? Voilà qui est fait.

Cordialement,

Rescassol
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Mon cher Rescassol
Ben oui, ben non!
Je suis un peu normand.
Il faudrait voter!
Moi je vote non, ce n'est pas un plan projectif même si on peut quand même affubler cette bestiole de cet adjectif mais il faudrait alors lui faire changer de sexe!
Amicalement
pappus
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
L'application de Rescassol est manifestement une homographie d'une droite projective.
Prenez ensuite le corps de base que vous préférez...
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves
Pour ceux qui exècrent les homographies et je les comprends et qui se contentent des douces béatitudes axiomatiques des deux compères: Thalès et Pythagore, on peut présenter les choses, c'est marrant, comme une devinette à la Jean-Louis, au demeurant assez facile.
Peut-être pourrait-on la proposer à des collégiens, faudrait voir?
Voyez la figure ci-dessous et proposez un énoncé!
Amicalement
pappus


Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Merci Gai Requin
Oui, le plan en question est le plan circulaire qui s'identifie lui même naturellement à la sphère de Riemann.
Sur cette sphère n'existe pas la moindre droite, par contre c'est le paradis des cercles !
On peut voir aussi la bestiole comme la droite projective complexe, c'est plutôt cet aspect qui est suggéré par l'écriture des homographies utilisée par Rescassol.
La situation est quand même assez délicate.
Au départ on a un plan euclidien $\mathcal P\ $dans lequel vivent les droites $\Delta_B\ $ et $\Delta_C\ $, les bissectrices intérieures en $B\ $ et $C\ $ du triangle $ABC$.
Ensuite au moyen d'un concept euclidien, à savoir la notion d'angle, on définit cette fameuse homographie $f:\Delta_B\mapsto \Delta_C.\qquad$
Alors là faut commencer à faire attention !
On sait que les homographies sont des homographies entre droites projectives, ce que ne sont pas les droites $\Delta_B\ $ et $\Delta_C$ qui sont d'honnêtes droites euclidiennes.
Pour parler d'homographie, il faut leur rajouter leur point à l'infini :
$$\overline{\Delta_B}=\Delta_B\cup \infty_{\Delta_B}.\\
\overline{\Delta_C}=\Delta_C\cup \infty_{\Delta_C}.
$$ et il faudrait plutôt écrire :
$$f:\overline{\Delta_B}\mapsto \overline{\Delta_C}.\qquad
$$ Les droites $\overline{\Delta_B}\ $ et $\overline{\Delta_C}\ $ sont elles mêmes des droites projectives du plan projectif $\overline{\mathcal P}=\mathcal P\cup L_{\infty}.\qquad $
Ce plan projectif est appelé communément extension projective du plan euclidien $\mathcal P.\qquad$.
C'est le plan euclidien auquel on a rajouté la droite de l'infini $L_{\infty}$.
On voit donc toute la technique sous entendue quand on parle d'homographie avec désinvolture.
Maintenant quand je parle de prolonger l'homographie $f:\Delta_B\mapsto \Delta_C.\qquad$ au plan, qu'est-ce que je sous-entends ?
Eh bien, je commence par prendre la restriction de $\overline f$ à la droite euclidienne $\Delta_B$ privée du point $X$.
J'obtiens ainsi une application qui part de la droite euclidienne $\Delta_B$ privée du point $X$ et qui arrive dans la droite euclidienne $\Delta_C$ privée du point $Y.\qquad$
Et c'est cette restriction qu'on prolonge au plan circulaire $\mathcal P\cup\infty.\qquad$
Bref tout ceci est suffisamment technique pour qu'on ait décidé en haut lieu d'arrêter les frais.
Comme Alexandre avait tranché le nœud gordien, on a tranché dans la géométrie qui se résume piteusement chez nous aux axiomes de Thalès et de Pythagore.
Mais pour nous ce n'est pas fini, loin d'être fini.
Tout comme j'avais réclamé au début les éléments caractéristiques de l'homographie $$f:\overline{\Delta_B}\mapsto \overline{\Delta_C}.\qquad$$, il est essentiel d'exhiber ceux du prolongement circulaire de Rescassol, à savoir ses points fixes et ses points limites.
Tranquillisez vous, ils sont déjà présents sur mes figures.
Regarde de tous tes yeux, Regarde !
Amicalement
pappus
PS
Quand on médite un peu sur cet exercice de Daniel Lehmann, on devine qu'il a dû l'affronter lui même dans sa propre jeunesse à la glorieuse époque du Lebossé-Hémery.
C'est donc un exercice qui doit être rédigé sans calcul c'est à dire synthétiquement même si Jean-Louis récuserait ce terme puisqu'on n'y parle que de transformations !



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonjour à tous
Pour voir si on maîtrise bien les géométries projective et circulaire, (je plaisante évidemment!), je propose les constructions suivantes
On se donne au départ le triangle $ABC$ et le centre du cercle inscrit $I$.
1° Construire à la règle et à l'équerre les points limites $X$ et $Y$ de $f$.
2° Le point $M\in \Delta_B\ $ étant donné, construire à la règle seule le point $M'=f(M).\qquad$
Bye, bye les angles et heureusement car on ne sait même plus les définir!
3° On note $g$ le prolongement circulaire de Rescassol.
Le point $M$ du plan étant donné, construire le point $g(M)$ à la règle et au compas!
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par pappus.
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonjour,

le dernier problème vient d'Arthur Lascases proposé en 1859

[jl.ayme.pagesperso-orange.fr] puis an unlikely concurrence


Sincèrement
Jean-Louis
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonjour,

Sur ma figure les points fixes sont $A(a)$ et $U(u)$ avec $a=\dfrac{2vw}{v+w}$.
Les points limites sont $pl_1=\dfrac{v(u+w)}{v+w}$ et $pl_2=\dfrac{v(u+w)}{v+w}$, ce sont bien les projetés orthogonaux de $A$ sur $\Delta_B$ et $\Delta_C$.
Ceci confirme que je ne me suis pas planté dans l'expression de $f$.
Enfin il est connu que les points limites et les points fixes d'une transformation circulaire forment un parallélogramme.

Cordaement,

Rescassol
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonjour,

Le point de vue plan projectif.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par gai requin.


Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Merci Gai Requin d'avoir utilisé le défunt axe d'homographie $BC$.
Inversement, ta figure donne une nouvelle énigme à la Jean-Louis.
A partir du point $M\in \Delta_B$, tu construis le point $M'\in\Delta_C.\qquad$
Et on doit montrer que l'angle orienté de droites $(AM,AM')$ est constant quand $M$ décrit la droite $\Delta_B.\qquad$
Un moyen original de reporter les angles quand on a pas le début du commencement de l'idée de la définition d'un angle comme c'est le cas dans notre belle république analphabète!
Amicalement
pappus
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Merci Rescassol
Tout ce que tu viens de prouver par le calcul peut l'être synthétiquement.
La conique enveloppe a, avec mes notations, pour foyers: les points $A$ et $A'$ et pour cercle principal le cercle de diamètre $XY$.
On tombe sur un nouvel exercice à la Jean-Louis: prouver que l'angle de droites $(A'M,A'M')\ $ est constant.
Bref en découpant cette configuration en rondelles, on tombe sur une multitude d'exercices à la Jean-Louis qu'il résoudrait avec des astuces invraisemblables alors que l'homographie de Malaka unifie tout ce fourbi!
Amicalement
pappus
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bon, je comptais remercier GabuZoMeu et Rescassol hier soir et entre temps c’est allé beaucoup trop loin et trop vite pour moi. J’en ai pour des heures de lecture.
A GabuMoZeu. Deux pages avant il y la formule de Laguerre comme homographie mais je n’avait pas fait le lien.
A Rescassol merci pour les calculs.
A Pappus j’ai simplement suivi le procédé de construction des homographies entre droitesqu’il emploie dans le cours.
Comme $f(B)=I$ et $f(I)=C$ l’axe est tout trouvé.
J’aimerais savoir à quel Lebossé Hémery tu fais référence, il y en beaucoup. Celui édité par Gabay ?
Sinon PUF s’est réinstallé rue Monsieur le Prince depuis plusieurs années et imprime des livres de son catalogue à la demande.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par malaka.
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Merci Malaka
C'est la réponse que j'attendais.
Bravo d'avoir déterminé correctement cet axe.
Par contre je suis intéressé de savoir l'énoncé exact de ton exercice car s'il se bornait à demander une preuve que $f$ est une homographie, tu pouvais te contenter de remercier chaleureusement GaBuZoMeu et tu n'avais besoin ni des calculs copieux de Rescassol ni de mes élucubrations sur une hypothétique enveloppe.
Le livre de Daniel Lehmann et de Rudolph Bkouche ne se contente pas de parler de géométrie projective.
Il parle aussi d'autres géométries comme la géométrie hyperbolique par exemple. C'est cela qui m'a fait tiquer!
Est-ce le cas du livre que tu cites?
Ce serait alors plus ou moins une réédition de l'autre!
Mais peu importe.
Il faudrait surtout savoir le contenu de ton livre de Lehmann sur les homographies entre deux droites.
Nous savons qu'il parle de l'axe d'homographie, c'est bien la moindre des choses mais si ces droites sont des droites d'un plan affine, il doit forcément parler des points limites.
Donc si l'exercice du Lehmann se limitait à cette question d'homographie, il te demandait d'exhiber l'axe d'homographie, (ce que tu as fait, bravo!), mais aussi ses points limites $X$ et $Y$ et de montrer qu'ils étaient les projections orthogonales du point $A$ sur les bissectrices intérieures issues des sommets $B\ $ et $C\ $, ce que tu n'as pas fait!
Amicalement
pappus



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par pappus.
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Mon cher Malaka
Je viens de feuilleter plus en détail mon exemplaire du Lehmann.
Il ne parle pas de points à l'infini, de droite de l'infini, etc...
Cela me semble un peu fort de café!
Donc si c'est aussi le cas du tien, tu es absous car tu ne pouvais deviner l'existence de ces points un peu bizarres.
Autre critique du Lehmann, il parle du théorème de CoPappus, sans doute le dual du théorème de Pappus.
Et je me souviens de m'être fait douloureusement taper sur les doigts par GaBuZoMeu pour ne pas m'être aperçu que la configuration de Pappus était autoduale!
Amicalement
pappus
PS
Une petite remarque cependant sur ta rédaction.
Tu as déterminé l'axe d'homographie parce que tu savais que $f:(B,I) \mapsto (I,C)$ mais une homographie est déterminée par les images de trois points distincts.
Donc l'axe ne suffit pas à déterminer l'homographie.
Il fallait exhiber une troisième paire de points homologues autre que les paires $(B,I)\ $ et $(I,C)\ $.
Les paires $(X,\infty_{\Delta_C})\ $ et $(\infty_{\Delta_B},Y)\ $ étaient là pour remplir cet office!



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par pappus.
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonsoir à tous
Ce livre d'Initiation à la géométrie de Daniel Lehmann et Rudolph Bkouche est fort intéressant et mérite d'être lu.
Certes il a quelques imperfections et alors?
Il parle bien des points à l'infini d'un espace affine dans son chapitre V mais oublie simplement de les utiliser dans son chapitre VIII où il s'intéresse aux homographies entre deux droites (éventuellement affines).
C'est peut être aussi le cas dans l'exemplaire de Malaka?
Amicalement
pappus
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
En ce qui concerne les paires $(X,\infty_{ \Delta_C})$ et $(Y,\infty_{\Delta_B})$ j’y avais réfléchi en restant bien plus terre à terre.
On considère les parallèles à $\Delta_C$ et $\Delta_B$ passant par $A$ puis leurs images par des rotations d’angle $-\alpha$ ou $\alpha$ suivant le cas et enfin les points d’intersections de ces images avec $\Delta_B$ et $\Delta_C$ ce sont les points $X$ et $Y$ cherchés.
GéoGébra montre qu’il y a des angles droits effectivement. Il ne restait plus qu’à le démontrer avec une petite chasse aux angles.
Y a t’il une raison plus simple et plus profonde qui explique que ce soit les projetés orthogonaux ? A mon niveau je suis incapable de le dire.

Mea culpa au sujet de l’énoncé, il parle évidemment de droites complétées de leur point à l’infini. J’ai voulu aller trop vite lors de mon premier message. Des photos arrivent quant au contenu du livre.
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Citation
Pappus
Il faudrait surtout savoir le contenu de ton livre de Lehmann sur les homographies entre deux droites.

Il est ensuite démontré que $h_0$ est une homographie, que toute homographie entre 2 droites est de cette forme et que l’axe $X$ est indépendant du choix de $A$ et $A’$.

La table des matière. Il manque le ch. 4 Structures additionnelles sur un espace projectif (structure affine sur un espace projectif, structure angulaire sur le plan projectif réel, dualité) et l’énoncé entier.


Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Merci Malaka
Oui, c'est le même énoncé que le mien.
Mais ce n'est pas le même livre.
En tout cas je suis content d'avoir deviné le véritable but de cet exercice à partir de sa seule première question, à savoir déterminer l'enveloppe de la droite $MM'$.
C'est vraiment un problème de géométrie synthétique qui était proposé!
Amicalement
pappus
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Bonjour,

Oui, les deux exercices dans les deux livres sont presque les mêmes, mais pas tout à fait.
On ne demande l'enveloppe des droite $(MM')$ que dans le tien Pappus (j'ai les deux).
De plus on demande de regarder ce qui se passe avec des bissectrices extérieures uniquement dans le tien également.

Cordialement,

Rescassol
Re: Une homographie ?
il y a quatre semaines
Merci Rescassol
La photo de Malaka est de mauvaise qualité.
Ma vue n'est plus très bonne, on le sait et j'ai sans doute pris mes désirs pour des réalités.
Mais peu importe les différences.
C'est surtout l'esprit de cet exercice qui m'a intéressé.
J'ai un peu revécu ma jeunesse insouciante, alors merci Malaka!
Amicalement
pappus
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