les orthoprojecteurs forment un compact
Bonjour, pourriez-vous m'aider sur l'exercice ci-dessous :
Montrer que l'endomorphisme p d'un espace vectoriel euclidien E est un projecteur orthogonal si et seulement si
pop=p
et pour tout x de E, ||p(x)|| et inférieur ou égale ||x||
Etablir alors que l'ensemble des orthoprojecteurs de E est un compact.
Merci de votre aide.
Montrer que l'endomorphisme p d'un espace vectoriel euclidien E est un projecteur orthogonal si et seulement si
pop=p
et pour tout x de E, ||p(x)|| et inférieur ou égale ||x||
Etablir alors que l'ensemble des orthoprojecteurs de E est un compact.
Merci de votre aide.
Réponses
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La relation pop=p caractérise les projecteurs...il sufit donc de vérifier qu'un projecteur est orthogonal si et seulement si $\forall x \in E, \|p(x)\| \leq \|x\|$ par exemple en utilisant Pythagore.
Ensuite, l'ensemble est un fermé inclus dans la boule unité...
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Bonjour!
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