Couper un segment en trois
dans Géométrie
Couper un segment en trois en utilisant seulement un compas et une règle non graduée.
Il existe un tas de méthodes je vous propose celle qui a ma faveur du moment:
Soit [AB] le segment qu'on veut partager en trois.
1) On choisit un point C qui n'est pas sur la droite (AB)
2) on trace la demi-droite [AC), au compas on construit le point D qui est sur [AC) et qui est à distance AC de C (mais qui n'est pas à A)
3) On trace la demi-droite [DB) et on construit au compas le point E qui est à distance DB de B (mais qui n'est pas D)
4) la droite (CE) coupe [AB] en F et [FB] a pour mesure un tiers de la longueur de [AB].
En espérant ne pas avoir (écrit) trop d'âneries.
Il existe un tas de méthodes je vous propose celle qui a ma faveur du moment:
Soit [AB] le segment qu'on veut partager en trois.
1) On choisit un point C qui n'est pas sur la droite (AB)
2) on trace la demi-droite [AC), au compas on construit le point D qui est sur [AC) et qui est à distance AC de C (mais qui n'est pas à A)
3) On trace la demi-droite [DB) et on construit au compas le point E qui est à distance DB de B (mais qui n'est pas D)
4) la droite (CE) coupe [AB] en F et [FB] a pour mesure un tiers de la longueur de [AB].
En espérant ne pas avoir (écrit) trop d'âneries.
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Réponses
Domi
En gros: on construit un repère orthonormé d'origine A, d'unité AB, on construit $y=3x$ en construisant le point $(1,3)$, on mène la parallèle (AB) passant par $(1,0)$ pour obtenir le point $(1,1/3)$, puis la perpendiculaire à (AB) passant par ce point pour obtenir $(1/3,0)$.
Les points C' et D' sont construits par symétries centrales successives, d'après le théorème de Thalès, M est au tiers à partir de A du segment [AB]. Il est clair que cette construction est valable pour n'importe quel entier (avec une feuille infinie (:P).)
Bruno
"un repère orthonormé", tu exagères, ne serais tu pas une taupe des RG dans le Phorum ?
Je voulais éviter toute construction du milieu d'un segment par la méthode classique (construction de la médiatrice du segment).
Je réfléchis à la manière de construire la parallèle à une droite donnée passant par un point donné extérieur à cette droite sans construire de milieu de segment.
Ah oui, mais c'est pas de jeu si tu n'expliques pas toutes les règles !
Pour les autre, j'ai fait appel à un repère orthonormé parce que j'avais en tête le problème des nombres constructibles à la règle et au compas d'une part, et d'autre part parce que ça me donnait un moyen commode d'expliquer ma construction.
Cela me semblait évident, dans le sens que couper un segment peut être considéré comme une application immédiate du théorème de Thalès mais alors se pose le problème de construction de parallèles (résolu par la construction habituelle du milieu d'un segment) que j'ai évitée en n'utilisant pas (directement) le théorème de Thalès.
PS:
Vous aurez compris que j'aime (parfois) me couper les cheveux en quatre B-)
[Mais non, c'est le segment qu'il faut couper en trois !
Soit une droite (d) et un point A extérieur à cette droite.
On veut construire la parallèle à (d) qui passe par A.
1) On choisit deux points B,C sur (d).
2) on place sur (d), avec le compas, un troisième point D à distance BC de C mais qui n'est pas B.
3) On trace la demi-droite [BA)
4) On construit le point E sur [BA) qui est à distance AB de A mais qui n'est pas B.
5) On Construit les segments [AD] , [CE] ,[ED]
6) Les segments [EC] et [AD] se coupent en F.
7) On construit la demi-droite [BF) elle coupe [ED] en G.
8) (AG) est parallèle à (d)
En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'âneries.
OK.
Mais cette construction de la parallèle à BC fonctionne pour tout point E de la droite AB , pas forcément
avec AB = AE.
On redécouvre de vieilles lunes !
David Hilbert, dans ses "Grundlagen der Geometrie", se pose le problème des constructions possibles à l'aide d'une règle et d'un instrument (qu'il appelle "Eichmass") qui permet de reporter une unité de longueur. La première construction qu'il donne est celle d'une parallèle à une droite donnée passant par un point donné.
L'ouvrage de Hilbert est disponible en ligne ici. L'étude des constructions à la règle et à l'instrument à reporter une unité de longueur débute à la section 36, page 73.
C'est tout à fait à quoi je pensais.
Je savais que Hilbert s'était intéressé à ces problèmes mais je n'avais jamais parcouru son oeuvre sur ce sujet.
(je possède seulement la réédition de sa théorie algébrique des nombres)
Merci Meu pour ces précisions.
Elles n'autorisent pas de reproduire la longueur qu'on veut.
Construction du milieu d'un segment.
Soit [AB] un segment on veut construire son milieu.
1) On trace un point C extérieur à la droite (AB)
2) On Construit les demi-droites [AC) et [BC).
3) Sur la demi-droite [AC) on place le point D de telle manière que C soit le milieu de [AD]
4) Sur la demi-droite [BC) on place le point E de telle manière que C soit le milieu de [BE]
5) On trace la demi-droite [EA) et on place le point F de telle manière que A soit le milieu de [EF]
6) On trace le segment [FD], il coupe [AB] en G qui est le milieu de [AB]
En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'âneries.
C'est une illusion. Avec les outils de Hilbert, tu peux reproduire une longueur donnée quelconque. Du moment que tu as l'étalon et que tu sais que tu peux tracer des parallèles, avec Thalès ça baigne.
Si tes outils sont la règle et un instrument pour reporter les longueurs, tu fais exactement les mêmes choses que Hilbert avec sa règle et son étalon. Sérieusement, tu devrais lire Hilbert (il y a une traduction française).
Je n'ai peut-être pas bien compris les règles qu'il se donne.
J'avais compris qu'il se donne seulement la possibilité de dupliquer un segment dont la longueur est fixée (un étalon)
Si j'ai bien compris cela signifie qu'il doit se donner une construction pour dupliquer un segment de taille quelconque.
Existe-t-elle pour tout segment?
Si on considère les deux demi-droites [AB) et [AC) comment, avec les règles de construction de Hilbert, fait-on pour tracer le point D sur [AC) tel que AD=AB?
1°) Hilbert montre qu'il peut tracer une parallèle à une droite donnée passant par un point donné. C'est l'extrait qui figure dans mon message plus haut.
2°) Ensuite, en utilisant Thalès et le report de l'étalon, on peut reporter n'importe quelle longueur. Faut-il que je détaille plus que le dessin ?
Je ne sais pas lire l'allemand et il faut croire que je ne lis pas attentivement les messages dans cette file.
Sauf erreur de ma part, tu peux trouver l'ouvrage sur .Gallica
Bruno
:-)
C'est la construction que j'ai déja donnée dans mon message du 25-02 !
Simplement à l'envers, en rebaptisant les points et en faisant abstraction du cercle utilisé pour reporter la distance BC de la figure d'origine.
Soit donc à diviser en trois le segment donné AB
sans vous je n'y serai surement pas arriver !!!!
encore merci !!!(tu):)-D:D;)
Une bonne orthographe, c'est faisable.
RC