Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
225 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Théorème isopérimétrique sur un secteur

Envoyé par titoufred 
Théorème isopérimétrique sur un secteur
21 septembre 2012, 00:21
Bonjour,

j'ai cherché en vain sur le net une généralisation du théorème isopérimétrique pour un secteur angulaire.

Il me semble qu'étant donné un secteur angulaire quelconque (défini par deux demi-droites de même origine O), la plus grande surface que l'on puisse obtenir avec une courbe de longueur donnée est obtenue à l'aide d'un arc de cercle (de centre O).

Je précise que la surface est délimitée par la courbe dont les extrémités se trouvent sur les demi-droites, et par les demi-droites elles-mêmes.

Connaissez-vous un tel résultat ?

Merci pour vos réponses.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
21 septembre 2012, 00:51
Oui ,lorsque l'angle du secteur est 360° ( Euler ? )

Bonne nuit



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/09/2012 00:55 par AitJoseph.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
21 septembre 2012, 05:22
avatar
Bonjour,

Oui si l'angle égale 180° Problème légendaire de Didon de Carthage

Oui si l'angle est de la forme 360°/2n, illustration du cas n=4:
[attachment 24860 Isoperimetres.png]
(on peut se se ramèner au tour complet par symétries et rotations d'angle 360°/n)

Sans doute as-tu vu cette page Wikipedia. N'y as-tu pas trouvé ton bonheur?

Peut-être y a-t-il moyen de généraliser mon approche par les angles de la forme 180°/n à toutes les fractions rationnelles de 360° en faisant plusieurs tours , quitte à superposer les surfaces?
le passage au continu se ferait alors... par continuité??? à voir.


Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
21 septembre 2012, 08:12
Bonjour, et merci pour tes réponses.

Effectivement, je n'ai rien trouvé sur la page Wikipedia.

Pour les angles de la forme 180°/n, ok. On se ramène à 360° comme tu l'as indiqué par ta figure.

Pour les angles de la forme p/q*180°, je ne vois pas comment se ramener à 360°.
JLT
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
21 septembre 2012, 08:35
avatar
Si on sait que c'est vrai pour tous les angles 180°/n, alors on peut conclure. En effet, étant donné deux demi-droites dans le secteur formant un angle de 180°/n, la courbe doit à un moment donné passer par les deux demi-droites, donc la restriction de la courbe au "petit" secteur est un arc de cercle. En particulier, elle est de courbure constante. Comme les seules courbes de courbure constante sont des cercles, la conclusion vient.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/09/2012 09:14 par JLT.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
21 septembre 2012, 10:02
Dans le même ordre d'idées, il me semble avoir parlé dans un fil ancien du cas d'une chaine polygonale $A_1A_2 \dots A_n$, sans doute appelée paravent, dont les extrémités $A_1$ et $A_n$ sont assujetties à rester sur les deux côtés d'un secteur angulaire.
Le cas d'une chaîne fermée $A_1 = A_n$ peut se traiter par les séries de Fourier.
Il existe une démonstration élémentaire de ce dernier cas dans le beau livre de Guggenheimer: Plane geometry and its groups.
Amicalement
Pappus
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
21 septembre 2012, 11:31
avatar
Voilà, titoufred,
Pour un angle de 3 *180°/7, je pensais le reproduire en 14 exemplaires que j'assemblerais en retournant une pièce sur deux (par symétrie axiale) jusqu'à obtenir une ligne fermée qui fait trois tours et qui entoure une surface de trois épaisseurs.

Ensuite, on doit bien pouvoir prouver que trois cercles de même longueur totale entourent trois épaisseurs de disques d'aire totale plus grande..

Si ça marche on pourra faire de même pour toute fraction rationnelle de 180° , puis prolonger à toute mesure d'angle réelle par continuité.

Je sens bien que mon deuxième paragraphe est douteux , mais je pense qu'il y a moyen de lever ce doute , moyennant une argumentation plus solide...
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
21 septembre 2012, 12:28
Bonjour à tous

Lorsque Titoufred parle de courbe de longueur donnée, est-ce que la longueur de cette courbe inclut les côtés de l'angle ou seulement la courbe les joignant ?

Par exemple dans le cas du demi-cercle de Didon, il s'agit de s'appuyer sur l'angle plat avec une courbe de longueur imposée, la longueur sur la droite n'étant pas prise en compte.

Bon, c'est peut-être indifférent mais ça ne me semble pas très clair.

Aldo
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
21 septembre 2012, 14:00
La longueur de la courbe n'inclut pas les côtés de l'angle.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
21 septembre 2012, 18:01
JLT écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de répéter un message précédent. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Je ne vois pas pourquoi la restriction de la courbe serait un arc de cercle.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/09/2012 18:03 par AD.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
21 septembre 2012, 18:03
avatar
Je reviens sur mon secteur d'angle $\dfrac{3\pi}{7}$, parlons en radians, entre gens bien élevés !

Je construis un éventail avec 14 secteurs adjacents de même angle, chacun étant symétrique du précédent par rapport au côté commun. J'obtiens ainsi une courbe fermée qui fait trois tours complets, soit un angle de $6\pi$ et trois épaisseurs de papier se superposant plus ou moins, peut-être pas vers les bords, mais au centre, assurément.
On va alors considérer successivement ces trois épaisseurs et leurs bords.
Soit $\ell_1$ la longueur du bord du premier tour. Si ce n'est pas un cercle, d'après le premier message (angle de 360°), on pourra majorer l'aire de la première épaisseur de papier par celle d'un un disque de périmètre $\ell_1$, son aire sera $\pi\Big(\dfrac{\ell_1}{2\pi}\Big)^2$, soit $\dfrac{\ell_1^2}{4\pi}$.
De même, si les deux tours suivants ont des bords de longueurs respectives $\ell_2$ et $\ell_3$, leurs aires pourront être majorées par les aires des disques isopérimètres soit $\dfrac{\ell_2^2}{4\pi}$ et $\dfrac{\ell_3^2}{4\pi}$.

Mais il se trouve que $\ell_1^2+\ell_2^2+\ell_3^2\leq(\ell_1+\ell_2+\ell_3)^2$
donc on optimisera la somme des aires de ces trois disques quand leurs trois périmètres sont égaux chacun à la moyenne de leurs trois périmètres.

Je pense que maintenant le deuxième paragraphe douteux de mon message précédent est démontré plus proprement, non ?
Qu'en penses-tu, titoufred ? Faut-il que je détaille davantage ?

On pourrait faire une démonstration analogue pour tout secteur angulaire de mesure $\dfrac{p}{q}\pi$.
Et on finira par un prolongement par continuité aux angles de mesure réelle quelconque.

Je rappelle aux autres lecteurs que ce lemme a permis à titoufred de résoudre un vieux problème du forum concernant la courbe la plus courte qui partage un triangle en deux pièces d'aires égales.
Amicalement. jacquot
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
22 septembre 2012, 00:41
avatar
eye popping smileyEh bien, mes calculs sont malheureusement faux:
C'est précisément la phrase écrite en gras qui se trouve être fausse:
elle se traduit par
$$\frac {1}{4\pi}(\ell_1^2+\ell_2^2+\ell_3^2)\leq\frac {3}{4\pi}\Big(\frac{\ell_1+\ell_2+\ell_3}{3}\Big)^2$$
soit:$$\frac{\ell_1^2+\ell_2^2+\ell_3^2}{3}\leq\Big(\frac{\ell_1+\ell_2+\ell_3}{3}\Big)^2$$
qui est fausse à cause de la concavité de la fonction $x&\longmapsto&x^2$
Et je suis dans la panade: la tentative de démonstration est en stand by sad smiley
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
22 septembre 2012, 01:36
Dans ton raisonnement, il y a une première petite difficulté qui est que tu n'obtiens pas forcément une courbe fermée au bout d'un tour. Mais cette difficulté doit peut-être pouvoir se lever en s'arrêtant à un demi-tour ?

Ensuite, je n'ai pas bien compris la fin. Tu prends un disque qui a pour périmètre la moyenne des périmètres des 3 disques majorants. Et tu affirmes que son aire est plus grande que la moyenne des 3 autres ? Je ne pense pas que ça soit vrai, ça doit même être le contraire.


Edit : je n'avais pas vu que tu avais relevé ton erreur.

Bon, ça n'a pas l'air d'être si facile que ça. J'étais parti pour ma part sur l'étude du quotient q = 2Sa/p² avec a l'angle du secteur, S et p la surface et le périmètre d'une courbe. q vaut 1 sur les arcs de cercle. Pour certains angles donnés (les pi/n), on sait que q<1 pour toute autre courbe qu'un arc de cercle. Il faudrait voir ce qu'il devient sur la réunion de 2 courbes...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/09/2012 01:57 par titoufred.
JLT
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
22 septembre 2012, 09:14
avatar
J'ai dit des bêtises dans mon message précédent.
JLT
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
22 septembre 2012, 11:35
avatar
Bon, reprenons. On doit pouvoir se ramener à montrer que si $A$ et $B$ sont deux points, disons sur l'axe des abscisses et symétriques par rapport à l'origine, alors la courbe $\gamma$ tracée dans le demi-plan supérieur, de longueur $L$ qui joint $A$ à $B$ et qui enferme, avec le segment $[A,B]$, une surface d'aire maximale, est un arc de cercle.

En effet, soit $C$ un point de l'axe des ordonnées, dans le demi-plan inférieur, tel que l'arc de cercle $\gamma_1$ de centre $C$, tracé dans le demi-plan supérieur, et passant par $A$ et $B$ ait pour longueur $L$. Soit $\gamma_2$ l'autre arc de cercle (dans le demi-plan inférieur). Notons $R=AC$. La réunion de $\gamma$ et de $\gamma_2$ est de longueur $2\pi R$ fixée, et l'aire englobée par $\gamma$ et $\gamma_2$ ne peut pas dépasser $\pi R^2$, avec égalité lorsque $\gamma=\gamma_1$.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
22 septembre 2012, 15:04
Dans ce cas on serait ramené au problème de Didon rappelé par Jacquot dans son premier message ?
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
22 septembre 2012, 18:39
JLT je ne comprends pas où tu veux en venir...

Je pense qu'il faut essayer de prouver que si le résultat est vrai sur un secteur d'angle a, il l'est sur tous les secteurs de la forme n*a.

Ainsi, le résultat sera vrai sur tout les secteurs du type n*180°/m, ce qui devrait suffire à conclure par densité.

Dans ce but, j'étais en train d'explorer une piste, cette fois-ci avec le quotient Q = S/p.

Si une courbe C de quotient Q est coupée en deux courbes de quotients Q1 < Q2, alors Q1 < Q < Q2.

Mais que faire de ça ?

PS : les cas particuliers où le secteur fait 180° ou 360°, et les solutions sont des arcs non forcément centrés en O, fournissent pas mal de contre-exemples. On peut notamment voir qu'on ne peut espérer une inégalité du type q1 < q < q2 lorsqu'on coupe une courbe en 2 avec q = 2aS/p².
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
22 septembre 2012, 20:08
avatar
Bonsoir,
Mes espoirs déçus me laissent circonspect.
Je vais explorer une autre piste:

Prenons un secteur [OA)[OB) d'angle $\alpha$ "pas trop grand".
Ce secteur sera supposé fermé par une courbe [A~B], gentiment continue, pas trop biscornue.
Je considère alors son secteur symétrique [OB') [OA') par rapport à la bissectrice . Ce secteur sera fermé par une courbe [B'~A'], elle ausi continue.
Je superpose les deux secteurs symétriques, et j'essaye de construire la courbe donnant, par portion d'angle infinitésimal l'aire moyenne de ces deux secteurs.

Il s'agirait d'une espèce de "courbe médiane" dont j'espère pouvoir démontrer qu'elle sera nécessairement plus courte que [A~B] ou, du moins, pas plus longue.

Pour ce faire je prendrai un paramétrage polaire$[\rho(\theta) ;\theta]$ de l'arc de courbe [A~B]
Il me semble que pour pour conserver l'aire totale du secteur délimité par [A~B], la courbe "médiane ne devra pas être définie par la moyenne arithmétique de $\rho$ et $\hro'$, mais par la moyenne géométrique ou peut-être la moyenne quadratique, faut encore que j'y réfléchisse

Mon espoir est de pouvoir prouver que cette "courbe"médiane sera plus courte que la courbe [A~B]

Ensuite, on pourra peut-être faire une dichotomie pour la ramener progressivement à l'arc de cercle souhaité.
Qu'en pensez-vous?

J'ai quand même un sérieux doute pour le cas de l'angle de 180°: avec deux demi-droites [OA)[OB) telles que OA>OB et un demi cercle [A~B]on aurait une situation "de Didon", mais il me semble que la courbe médiane des deux demi-cercles n'est pas un demi-cercle... plutôt une demi-ellipse!:S



Bon courage pour vos autres autres recherches... jacquot
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
22 septembre 2012, 22:47
Il n'y a vraiment pas moyen de faire cela par le calcul des variations en travaillant en coordonnées polaires?
Amicalement
Pappus
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
22 septembre 2012, 23:52
avatar
Bonsoir à tous

pappus écrivait:

Il n'y a vraiment pas moyen de faire cela par le calcul des variations en travaillant en coordonnées polaires?

J'adore cette réponse , mais serait-elle elle acceptée par un un jury d'agreg pour qui la géométrie n'est qu'une vieille grand-mère :D

Domi
JLT
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 14:17
avatar
Bon, je reprends mon idée. On cherche à montrer que parmi toutes les courbes $\gamma$ de longueur $L$ refermant un secteur angulaire d'angle $\alpha$, l'aire de la surface qui est enfermée à l'intérieur (que l'on notera $S(\gamma)$) est inférieure ou égale à celle obtenue dans le cas d'un arc de cercle de rayon $R=L/\alpha$, à savoir $L^2/(2\alpha)$. Autrement dit, on veut montrer l'inégalité isopérimétrique

$$\frac{S}{L^2}\le \frac{1}{2\alpha}.$$

Soit donc $\gamma$ une courbe (en rouge dans le dessin qui suit) de longueur $L$ refermant un secteur angulaire d'angle $\alpha$.

[attachment 24879 Capturer0.JPG]

Soient $A$ et $B$ les points de contact avec le secteur angulaire. D'après mon message précédent, l'aire renfermée par $\gamma$ est inférieure à celle de l'arc de cercle (bleu) de même longueur joignant $A$ à $B$. Donc on peut se ramener au cas où $\gamma$ est un arc de cercle.

Par des arguments de compacité, il existe un arc de cercle $\gamma$ (en bleu ci-dessous) de longueur $L$ tel que $S(\gamma)$ est maximum. Il reste à montrer que cet arc de cercle est centré au sommet du secteur angulaire. [Edit : ce qui suit ne marche pas !] Supposons que ce ne soit pas le cas.

[attachment 24878 Capturer.JPG]

On a par exemple $OB<OA$. Regardons au voisinage de $B$.

[attachment 24880 Capturer1.JPG]

Si on remplace l'arc $BC$ par le segment $[C,D]$, on diminue la longueur et on augmente l'aire. On a donc augmenté $\frac{S}{L^2}$, ce qui contredit la maximalité de $S(\gamma)$.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 14:46
Bonjour JLT,

d'accord pour admettre Didon : la courbe s'appuyant sur les extrémités du segment AB, de longueur imposée et délimitant avec ce segment une surface maximale est un arc de cercle.

Par contre dans ton dernier dessin tu es bien trop gentil : rien n'oblige l'arc de cercle en bleu à être du "mauvais" côté de la perpendiculaire en B. Voir figure ci-après.

[attachment 24881 cerclesetsecteurs.jpg]

Aldo


JLT
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 15:26
avatar
Caramba ! Encore raté ! Bon, il doit être possible de sortir une solution avec un brin de calcul différentiel mais j'espérais une solution élémentaire et je ne la vois pas.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 15:33
Ne peut-on regarder ce qui se passe pour une chaîne polygonale puis si on le peut passer à la limite?
Amicalement
Pappus
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 15:37
avatar
Je suis en train de chercher dans ce sens
@bientôt



Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/09/2012 15:46 par jacquot.
JLT
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 15:59
avatar
Reprenons. Supposons que $OA\ne OB$. En déplaçant $O$ vers le point $O'$ (projeté de $O$ sur la médiatrice de $[A,B]$, on ne change pas l'aire ni la longueur mais on augmente l'angle.

[attachment 24883 Capturer.JPG]

En "reculant" $O$ sur la médiatrice on retrouve un cône de même ouverture $\alpha$ mais avec un rapport $S/L^2$ plus élevé, ce qui contredit la maximalité. Donc nécessairement $OA=OB$.

[attachment 24884 Capturer1.JPG]

Le centre de l'arc de cercle est donc nécessairement sur la bissectrice du secteur angulaire. Un calcul analytique devrait permettre de terminer.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 16:13
avatar
Alors voilà:
Je comprrends le message de pappus comme l'assimilation d'une portion de courbe à une succession de segments de droites de longueur infinitésimale.

Pour j'étudie le cas d'un segment de droite: [BC] qui ferme un secteur angulaire([AB)[AC)) il enferme l'aire du triangle ABC.
[attachment 24882 Isoperimetressegments.png]

Je note AB'C' le symétrique de ce triangle ABC par rapport à la bissectrice de A.
(BC') et (BC) se couperont en D sur cette bissectrice.
Je trace les médianesDE et DF issues de D pour les triangles DBC' et DB'C.
Alors le quadrilatère AEDF a une aire égale à celle du triangle ABC, pourtant ED+DF<BC (Appolonius? je compte sur pappus pour confirmer)

On pourra donc faire une petite homothétie de centre A pour Avoir une ligne E'D'F' de longueur BC(isopérimètre)
Le quadrilatère AE'D'F' aura alors iun périmètre égal à celui du triangle ABC mais une aire plus grande.

On pourra aussi remarquer que son angle D' est rentrant, donc on pourra encore augmenter l'aire en remplaçant par D", le quatrième sommet du losange EDFD".

Toutes ces optimisations sont possibles dès lors que le triangle ABC n'est pas isocèle en A
Si AB=AC, alors B' et C se confondent et le quadrilatère AE'D"F' a seulement une aire égale à celle du triangle ABC.

Si donc on approche une courbe par des segments de droites, les aires des secteurs triangulaires élémentaires ne seront optimaux que si ces triangles sont tous isocèles.
Cela signifie que le rayon de courbure est constant et égal à AB.

Ce passage à la limite est discutable. Peut-être en discuterons-nous...

[Edit: Je viens de Voir que JLT a posté.... J'aurais dû appeler OAB mon triangle pour plus de clarté. désolé...]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/09/2012 16:18 par jacquot.


Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 16:42
avatar
D'accord avec ta manip, JLT
Ta solution est plus simple que la mienne.
Lorsque tu parles de "reculer" O sur la médiatrice, on peut le placer avec précision en le déplaçant sur le cercle circonscrit du triangle OAB
[attachment 24885 JLT.png]


Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 16:47
JLT a montré que la courbe est forcément un arc de cercle.

De tous les points de l'arc capable voyant AB sous le même angle, c'est celui se trouvant sur la médiatrice de AB qui permet d'obtenir la plus grande surface.

Donc le centre du cercle est sur la bissectrice de AOB.

Soit D le point où cette bissectrice coupe l'arc de cercle.

L'arc AD (moitié de AB) offre la plus grande surface pour l'angle AOD.

En effet, s'il y avait une autre ligne offrant une plus grande surface, en lui adjoignant sa symétrique par rapport à la bissectrice, on aurait une courbe meilleure pour tout l'angle AOB.

Donc cette portion de courbe AD est aussi un arc de cercle donc le centre est sur la bissectrice de AOD.

Donc la courbe est un arc de cercle de centre O.

Aldo
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 19:23
JLT écrivait: [www.les-mathematiques.net]
[Plutôt que de recopier une partie incomplète (sans les figures), il vaut mieux donner le lien. AD]
-------------------------------------------------------

Je n'avais pas compris ton raisonnement.

On complète l'arc de cercle en bleu en un cercle et l'on conclut par le théorème d'isopérimétrie. Bravo pour cette idée.

Cependant, il me semble qu'il y a un problème si $L=AB$ ou si $L>\frac \pi 2 AB$ car on ne peut trouver d'arc de cercle $AB$ de longueur $L$ correctement orienté.
JLT
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 21:44
avatar
Si $L=AB$ il n'y a pas de difficulté, la courbe est alors un segment, et le même argument (déplacer $O$) permet de voir que $O$ se situe sur la médiatrice de $[A,B]$, et on voit que $S/L^2$ n'est pas maximal dans cette configuration.

Si $L>\pi AB/2$, l'argument donné montre que parmi les configurations comme sur le dessin suivant

[attachment 24887 Capturer.JPG]

où on autorise la courbe à déborder du secteur angulaire, le rapport $S/L^2$ est maximisé lorsque la courbe est un arc de cercle centré en $O$. A fortiori, parmi les configurations où on n'autorise pas la courbe à sortir du secteur angulaire, le rapport $S/L^2$ est maximisé lorsque la courbe est un arc de cercle centré en $O$.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 22:16
La démonstration est donc assez simple mais (si j'ai bien compris !) elle fait appel au résultat de Didon qui concerne une courbe de longueur donnée s'appuyant sur les extrémités fixées d'un segment : lorsque l'aire délimitée par la courbe et le segment est maximale, la courbe est un arc de cercle.

Je propose une démonstration ne faisant pas appel à ce résultat, mais utilisant une idée de JLT pour établir une certaine symétrie.

On peut déjà observer que la courbe (C) doit vérifier une condition de convexité : si une concavité apparaissait, il suffirait de remplacer la portion de courbe concernée par sa symétrique pour obtenir une surface plus grande enveloppée par une courbe de même longueur.

[attachment 24888 secteursisoperimetres.jpg]

Il s'agit en premier lieu de montrer que OA=OB.

Or si ce n'était pas le cas, on pourrait construire une aire supérieure en remplaçant O par le point O' de la médiatrice de AB tel que AO'B=AOB.

On peut donc supposer OA=OB

A présent, traçons la bissectrice de l'angle AOB qui coupe la courbe (C) en D et la partage en C1 (courbe de A à D) et C2 (courbe de D à B).

Supposons que C1 ne soit pas plus longue que C2 (inférieure ou égale)

La courbe C1 délimite une aire maximale avec le secteur AOD : en effet, s'il existait une courbe C'1 de même longueur délimitant une aire plus grande avec AOD, il suffirait de lui adjoindre sa symétrique par rapport à AD pour obtenir une courbe de longueur inférieure ou égale à (C) et délimitant avec AOB une aire plus grande que celle délimitée par (C).

La démonstration vue un peu plus haut implique à présent que OA=OD

Il en ira de même en traçant les bissectrices des angles bissectés et en recommençant etc.

Donc tous les points de l'arc AB du cercle de centre O, de rayon OA, se trouvant à la distance p/q.2n fois (arc AB) de A appartiennent à la courbe (C).

Or cet ensemble de points est dense sur cet arc.

Supposons qu'il existe un points M de la courbe ne se trouvant pas sur ce cercle. Aussi proche soit-il du cercle (à l'intérieur ou à l'extérieur), on trouvera des points de la courbe suffisamment proches de sa projection sur le cercle pour que la courbe devienne concave.

D'où contradiction. Tous les points de la courbe sont sur le cercle de centre O, de rayon OA.

Aldo


Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 22:45
Bon j'ai enfin compris le message de JLT de 11h35 qui établit en 4 lignes le résultat de Didon.

En fait, ce n'est pas "un point C de l'axe des ordonnées" mais LE point C de la médiatrice de AB tel que ...

Mais cette démo fait toutefois appel au théorème isopérimétrique comme le signale titoufred.

D'où l'intérêt de la démo que je propose (si elle est acceptée !)...

Aldo
JLT
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
23 septembre 2012, 22:56
avatar
@Aldo : ta démonstration nécessite de savoir que le maximum du quotient $S/L^2$ est atteint. Dans ma démonstration (ou plutôt mon esquisse de démonstration) j'ai également besoin du fait que le maximum est atteint, mais comme je me ramène à n'étudier que les arcs de cercle, il ne serait pas difficile d'écrire un argument de compacité en dimension finie, alors que si on raisonne sur toutes les courbes de longueur $L$ possibles, il va falloir invoquer le théorème d'Ascoli (je crois).
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
24 septembre 2012, 01:23
Effectivement le cas $L=AB$ se traite facilement car dans le cas d'un segment $\dfrac S {p^2} \leq \dfrac 1 {4\tan\left(\frac \alpha 2\right)} < \dfrac 1 {2\alpha}$.
Je dois avouer que je n'ai pas compris comment tu traites l'autre cas. Comment montres-tu dans le détail que le rapport est maximisé par un arc de cercle ?
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
24 septembre 2012, 01:52
ok merci JLT c'était subtil !
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
24 septembre 2012, 08:20
avatar
Bonjour,
L'idée de la dichotomie mise en oeuvre par Aldo devait aussi sous-tendre mon approche par une ligne polygonale.
J'émettais quelques doutes pour le passage à la limite, pour lequel je manquais d'arguments topologiques, compacité ou théorème d'Ascoli (?) évoqués pat JLT.

Je craignais une situation paradoxale du genre Pi=2.
Tout le monde connait la figure suivante:
[attachment 24893 Pi-egale-2.png]
qui doit inciter à la prudence.

Alors sommes-nous près du but ou l'avons nous atteint?


JLT
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
24 septembre 2012, 12:11
avatar
@titoufred :

je pars d'une courbe $\gamma$ reliant les deux demi-droites. Soient $A$ et $B$ l'origine et l'extrémité de la courbe. Soit $L$ la longueur de $\gamma$. L'aire $S$ renfermée par $\gamma$ ainsi que les segments $OA$ et $OB$ est égale (au moins) à l'aire du triangle $OAB$ + l'aire délimitée par le segment $[A,B]$ et la courbe $\gamma$. Or, on augmente cette dernière en remplaçant $\gamma$ par un arc de cercle $\gamma_1$ de même longueur, comme je l'ai expliqué dans le message

[www.les-mathematiques.net]

(N.B. Je viens d'ajouter une précision dans ce message).

L'aire $S'$ renfermée par $\gamma_1$ ainsi que les segments $OA$ et $OB$ est supérieure ou égale à $S$. Donc on peut se limiter à maximiser le rapport $S/L^2$ pour les arcs de cercle reliant les deux demi-droites.
JLT
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
24 septembre 2012, 12:57
avatar
@jacquot : il n'y a pas de problème pour le passage à la limite dans la méthode de dichotomie d'Aldo, car on prend une courbe fixe $\gamma$ qui maximise le rapport isopérimétrique et on montre que $||\gamma(t)||$ est constant, alors que dans le "paradoxe Pi=2" on a une famille de courbes.

Si tu veux utiliser une méthode d'approximation par des polygones, tu pars de même d'une courbe fixe $\gamma$ et tu approximes cette courbe $\gamma$ par des polygones. Il n'y a pas de problème ici non plus car on ne prend pas n'importe quelle approximation : on prend des subdivisions de plus en plus fines $t_0<t_1<\cdots<t_n$ et on remplace chaque portion par le segment $[\gamma(t_i),\gamma(t_{i+1})]$. Alors la longueur des courbes approchant $\gamma$ tend bien vers la longueur de $\gamma$.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
24 septembre 2012, 16:42
Il est vrai que la démo que je propose un peu plus haut suppose l'existence d'une courbe optimale, ce qui est en fait le plus difficile !

Mais la démo de JLT s'appuie sur le théorème isopérimétrique qui inclut l'existence d'une telle courbe. Cette démo me semble alors complète. Le théorème demandé par titoufred sur les secteurs peut alors être vu comme corollaire du théorème isopérimétrique.

Ou bien est-ce que quelque chose m'a échappé ?

Aldo
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
24 septembre 2012, 17:19
JLT, tu es bien d'accord que tu utilises le théorème classique d'isopérimétrie et que tu as besoin que ton arc de cercle $\gamma_1$ soit tracé avec la bonne orientation pour que ça marche. Comme tu le dis dans ton message cité, je trace un arc $AB$ de longueur $L$ dans le demi-plan supérieur avec le centre dans le demi-plan inférieur. Ce que je dis, c'est que ce n'est pas possible lorsque $L>\frac \pi 2 AB$. Et si tu traces ton arc de cercle de l'autre côté comme dans ce message, tu ne peux plus utiliser le théorème d'isopérimétrie car les aires ne s'ajoutent plus.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
24 septembre 2012, 18:03
Il faut bien voir que les points A et B ne font pas partie de l'énoncé et que, une fois fixé le secteur angulaire (Oi,Oj), la longueur L de la courbe (C) n'a aucune importance : toute solution trouvée pour L s'appliquera pour une autre valeur L' par une simple homothétie.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
24 septembre 2012, 19:09
>titoufred

je pense que je viens de comprendre ton objection.

C'est l'argument de convexité qui impose à la courbe de rester dans le triangle AIB.

[attachment 24909 secteurs03.jpg]

Sa longueur est donc comprise entre AB et AI + BI.

C'est ok ?


Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
24 septembre 2012, 23:42
Je ne vois pas en quoi l'argument de convexité oblige la courbe à rester dans ABI.
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
25 septembre 2012, 00:11
Si la courbe (C) (en, rouge) dépasse la ligne verte, elle présente forcément une partie concave qu'il suffit de remplacer par sa partie convexe symétrique (pointillés violets) pour obtenit une courbe de même longueur, entourant une surface supérieure.

[attachment 24912 secteurs04.jpg]

Si la courbe dépasse la ligne verte à une extrémité (ici au point B), on peut remplacer la fin de courbe par une perpendiculaire au côté de l'angle (aussi en pointillés violets).

On peut donc se borner à étudier les courbes convexes intérieures à AIB donc de longueur inférieure à AI + IB.

A moins que quelque chose m'échappe ce qui n'est pas peu probable !


Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
25 septembre 2012, 01:39
Ok Aldo. Mais qui te dit que $AI+BI < \frac \pi 2$ ? et si $\alpha > \pi$, que devient $I$ ?

Mais peu importe car je crois que je viens de comprendre l'argument de JLT dans ce message :

En fait on élargit le problème en autorisant également les courbes à déborder du secteur, et en comptant alors la surface y compris à l'extérieur du secteur.

Il n'y a alors plus aucun problème !

Etant donnée une courbe $\gamma$ de longueur $L >AB$ quelconque, on considère l'arc de cercle $\gamma_1$ de longueur $L$ joignant $A$ à $B$, tracé dans le demi-plan délimité par $(AB)$ qui ne contient pas $O$. Peu importe où se trouve son centre et peu importe s'il déborde du secteur. En considérant le cercle sous-jacent à $\gamma_1$ et grâce au théorème d'isopérimétrie classique, on voit que l'arc de cercle $\gamma_1$ délimite une surface plus grande que la courbe $\gamma$.

On déroule ensuite tout le reste pour prouver que parmi les arcs de cercle, ceux de centre $O$ maximisent le rapport $\frac S {L^2}$.

Evidemment, ces arcs de cercle de centre $O$ ne débordent pas du secteur...

CQFD !
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
25 septembre 2012, 02:51
En effet, ça roule tout seul, pas besoin de compliquer !
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
28 octobre 2012, 13:18
avatar
Bonjour à tous

J'ai enfin trouvé un peu de temps pour lire ce fil .:D

Jacquot disait un peu plus haut que ce "lemme" permettait de résoudre la dissection d'un triangle quelconque en deux parts de même aire avec une découpe minimale . Est-ce vraiment évident ?

Amicalement

Domi
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
28 octobre 2012, 14:45
avatar
Excuse-moi, Domi, mais j'ai un peu perdu le fil !
Je me souviens que titoufred avait initié cette discussion pour ne pas polluer la discussion "Couper un triangle en deux" que tu avais lancée sur ce même forum.

Maintenant, si on veut
partager un tiangle en deux pièces par une ligne continue, le vois
trois cas de figure:
1) Faire une inclusion, un trou (circulaire) dans le triangle
2) Tracer une frontière "à la Didon, s'appuyant en deux points sur un côté du triangle, là c'est le demi-cercle qui optimise.
3) Tracer une frontière dont une extrémité appartiendra à un côté et l'autre à un autre côté. d'après le "théorème isopérimétrique sur un secteur" étudié plus haut, c'est un arc de cercle qui optimise cette frontière.

Soit $A$ l'aire du triangle.
1) Si l'île incluse dans le triangle a une aire de $A/2$, son périmètre égale $2\pi R$ où $R=\sqrt{\dfrac A {2\pi}}$, c'est à dire $\boxed{p=\sqrt{2\pi A}}$
2) Si un demi-disque a une aire égale à $A/2$, la longueur de son demi-cercle est $\pi R$ avec $R=\sqrt {\dfrac A \pi}$, c'est à dire $\boxed{l=\sqrt{\pi A}}$
3) pour une frontière en arc de cercle s'appuyant sur deux côtés du triangle, l'aire du secteur intercepté est $A/2 = \dfrac {\pi R^2 \alpha}{2\pi}$, $\alpha$ étant exprimé en radians, alors $R=\sqrt{\dfrac A \alpha}$ et la longueur de l'arc est $\boxed{l=\sqrt {\alpha A}}$

On voit que ce troisième cas est le plus favorable, surtout quand l'arc de cercle est tracé sur les côtés de l'angle le plus aigu du triangle.
De plus dans tout triangle les mesures des angles sont ordonnées comme les longueurs des côtés opposés, donc on est bien sûr de bien pouvoir tracer cet arc de cercle dans le secteur angulaire le plus aigu du triangle.

A moins, Domi, que tu n'aies vu autre chose qui m'aurait échappé?
sad smiley
Re: Théorème isopérimétrique sur un secteur
28 octobre 2012, 16:05
avatar
Bonjour Jacquot .

Je n'ai pas trop réfléchi au problème , je réagissais au fait que tu considérais que la résolution du problème de titoufred rendait évidente celle de la dissection du triangle .

As-tu considéré ce cas de figure ?

[attachment 25427 Triangleen2.jpg]

Domi


Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 150 558, Messages: 1 527 399, Utilisateurs: 28 071.
Notre dernier utilisateur inscrit Metalbib.


Ce forum
Discussions: 9 117, Messages: 106 907.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page